一种基于Henon映射的图像加密算法

黄 波，张林华，段婉玉

(重庆师范大学数学学院，重庆401331)

社会信息化步伐的加快，数字图像逐渐成为一种重要的信息传输方式，在享受数字图像给生活带来诸多便利的同时，如何保障数字信息的安全己经成为一个刻不容缓的问题。图像加密是保障图像信息安全的一种方式，研究图像加密技术具有重要的理论和现实意义［1］。混沌最早由Lorenz在1963年研究模拟天气预报时发现，Fridrich在1997年首次将它用于图像加密［2］。由于混沌系统对初始条件和系统参数的极端敏感性、白噪声的统计特性和不可预测性等优良特征，使得混沌具有天生的密码学特性。近年来，国内外学者对基于混沌系统的图像加密研究也取得了不少成果，如邓绍江等［3］通过对混沌和密码学之间关系的分析，给出了数字加密中选择混沌系统的原则;Guan ZH等［4］在混沌系统的基础上提出新的加密算法;赵亮等［5］提出了高维混沌图像加密算法，算法比低维混沌系统更具安全性;李玲等［6］对超混沌系统的图像加密算法进行了改进，使其具有更好的安全性;卢辉斌，肖霞［7］由两个Logistic混沌映射相结合产生加密序列;乐鸿辉等［8］利用超混沌系统改进了MD5加密算法，增强了明文的敏感性。

1 混沌系统基本理论

1.1 混沌的概念

由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此至今不同领域的科学家往往对其作出不同的定义。目前，已有的定义从不同的侧面反映了混沌运动特性，最具代表性的是Li-Yorke的混沌定义［9］。区间I上的连续自映射f(x)，如果满足下面条件，便可确定它有混沌现象:

(1)f的周期点的周期无上界;

1.2 Henon 混沌映射

Henon映射是典型的二维离散混沌映射，其方程:

当 p=1.4，q=0.3时，系统可产生混沌现象，图1为Henon映射的吸引子。

图1 Henon 映射的吸引子(p=1.4，q=0.3)

2 图像加密算法

设 I(x，y)M×N为初始图像，其中 x，y 代表像素的位置信息，M×N表示图像的大小，其中加密过程可描述如下:

(1)生成混沌序列，设定初始值x(1)与y(1)，Henon混沌系统的控制参数p与q，利用Henon映射生成两个长度为(M ×N)/2 的混沌序列 x(i)、y(j)，其中 p=1.4，q=0.3，0≤x(1)≤1，0≤y(1)≤1，i=j=0，1，…，(M ×N)/2;

(2)混沌置乱，对生成的两个混沌序列x(i)、y(j)按照［x1(n)/2，y1(n)/2，y2(n)/2，x2(n)/2］的方式重新排列，得到置乱图像I1，其中x1(n)/2表示序列x(i)的前半部分，x2(n)/2表示序列x(i)的后半部分，y(j)同理;

(3)异或运算:将初始图像进行排序变换，表示为I2，做异或运算I3=I1⊕I2，从而实现对初始图像的置乱加密，得到最终的加密图像I3;该算法的加密流程图如图2所示。

图2 加密算法流程图

3 仿真结果及分析

3.1 仿真结果

在MATLAB 7.0环境下对标准测试灰度图像couple.bmp进行仿真实验，图像的大小是256×256，混沌映射初始值 x(1)=0.5，y(1)=0.5，控制参数 p=1.4，q=0.3 作为密钥。图3(a)与图 3(b)为初始图像及其直方图，图3(c)与图3(d)为加密图像及其直方图，可以看出，加密图像的直方图要比初始图像的直方图均匀得多，且密文的统计特性完全不同于明文，大大降低了明文和密文的相关性。

3.2 信息熵分析

一幅图像的熵值是这幅图像的平均信息量，也可以说是图像中各灰度级的统计平均值，信息熵越大，分布越均匀［10］。从表1可以看出，加密图像的信息熵等于256级灰度图像信息熵的最大值8，这说明加密图像的灰度值分布是相当均匀的。初始图像与加密图像的信息熵见表1。

图3 加密效果与直方图分析

表1 信息熵

3.3 密钥敏感性分析

参数敏感性是混沌系统的一个重要特性，为了分析加密图像对密钥的敏感性，使用不同的密钥组合对标准测试灰度图像lena.bmp的加密图像进行解密。由图4的实验结果可以看出，即使密钥只是发生了微小的变动，也无法得到正确的初始图像。图4(a)以密钥(0.5，0.5，1.4，0.3)得到的加密图像图4(b)以正确密钥(0.5，0.5，1.4，0.3)解密图像。图 4(c)以错误密钥(0.500 1，0.499 9，1.4，0.3)解密图像图 4(d)以错误密钥(0.5，0.5，1.400 1，0.299 9)解密图像。

图4 密钥敏感性测试

3.4 相关性分析

相关性分析是对算法的扩散性进行分析，用相关系数r来表示，序列x，y的相关系数可定义为rxy=，其中cov(x，y)=E((x－E(x))(y－E(y)))，E(x)和 D(x)分别表示序列 x的期望和方差。由表2可以看出加密图像的相关性远小于初始图像，这表明了该加密算法具有良好的扩散性。从初始图像和加密图像随机选取5 000对相邻像素点，得到相关系数表。

表2 初始图像和加密图像的相关系数

4 结语

提出了一种新的基于Henon混沌映射的数字图像加密算法，并通过直方图、信息熵、密钥敏感度和相关性对该加密算法进行了安全性分析。实验表明:加密算法对参数敏感度高，扩散性好，具有很好的安全性，是一种有效的数字图像加密算法。能否将该加密算法应用于彩色图像以及如何减少加密、解密过程的时间还需进一步讨论和完善。

［1］李昌刚，韩正之，张浩然.图像加密技术综述［J］.计算机研究与发展，2002，39(10):1321-1322

［2］FRIDRICH J.Image encryption based on chaotic maps［J］.Proc，IEEE Conf.on Systems，Mar and Cybernetics.1997:1105-1110

［3］邓绍江，李传东.混沌理论及其在密码学中的应用［J］.重庆建筑大学学报，2003，25(5):123-125

［4］GUAN Z H，HUANG F J，GUAN W J.Chaos-based image encryption algorithm［J］.Physics Letters A，2005(346):153-157

［5］赵亮，廖晓峰，向涛，肖迪.对高维混沌系统的图像加密算法安全性和效率的改进［J］.计算机应用，2009，29(7):1775-1778

［6］李玲，王伟男，李津杰.对超混沌系统的图像加密算法安全性的改进［J］.计算机应用研究，2011，28(11):4335-4337

［7］卢辉斌，肖霞.基于混沌映射的图像加密算法［J］.计算机工程，2011，37(24):117-118

［8］乐鸿辉，李涛，石磊.应用Henon超混沌系统改进的图像加密［J］.计算机应用，2011，31(7):1909-1911

［9］郝柏林.从抛物线谈起—混沌动力学引论［M］.上海:上海科技教育出版社，1997

［10］姚敏.数字图像处理［M］.北京:机械工业出版社，2006