Stolz定理在一类特定型函数极限计算中的应用与推广

黄茉菊，王贵君

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

L’Hospital法则在函数极限计算中发挥着重要作用，它不仅方便实用，而且对一些超越函数或复杂函数的极限计算更有效.但L’Hospital法则要求函数满足一定条件，所以L’Hospital法则并非万能.文献[1]对一类L’Hospital法则失效的特定型函数极限给出解答和一些推广及猜想，其方法是利用正（余）弦函数的周期性将分子的积分区间实施等距划分，进而通过分部积分法直接计算或应用夹逼定理进行处理.事实上，针对一般情况，这2种方法都会随着参数值增大而使计算过程复杂而冗长，针对以上缺陷，本研究利用Stolz定理和夹逼定理处理这类函数极限，得到了一般结果，并在此基础上，对函数形式进行推广，获得其几种一般形式的结果.

式（1）两端均为商式的数列.先考虑左端，令

数列{Bn}单调递增，，由Stolz定理可得

由积分单调性，对于式（2）右端有

令t=nπ+u，则

由上述方法不难计算以下极限值：

那么，∀k∈N+，是否有答案是肯定的.

定理1 任意给定k∈N+，则有

证明 当x充分大时，存在自然数n∈N，使得nπ ≤ x＜（n+1）π，故

令An（k）=，Bn（k）=（n+1）kπk，n，k=1，2，…，易知对于固定的k∈N+，{Bn（k）}单调递增，且=+∞.由Stolz定理有

对式（6）右端依积分单调性可得

（1+1/（n+1））k≈1+k/（n+1）可得

针对式（7），令 n→∞，由夹逼定理可得式（6）的每个极限均为 2/（kπ），当然式（5）左端极限也为2/（kπ）.同理可得式（5）右端的极限也为2/（kπ），再依据夹逼定理可得到式（5）中间部分的极限仍为2/（kπ）.用取代由易得

由于余（正）弦函数的绝对值为非负连续周期函数，故定理1可进一步推广.

定理2设f（t）是非负可积的周期函数，其最小正周期为T，且则对任意给定的k∈N+，有

证明 当x充分大时，存在n∈N，使得nT≤x ＜（n+1）T，故

依积分单调性更有

因为f（t±T）=f（t），∀t∈R.故令t=nT+u，则有因此，当n充分大时，利用式（8）可得依据式（11），由夹逼定理结合式（10），立刻获得式（9）左端极限为a/（kT）.同样方法可得结论成立.

由定理2可得

注意到定理2被积函数中tk-1与分母函数xk的次数差1，故考虑如下类型极限.

证明 对于x，∃n∈N，使得nT≤x＜（n+1）T，所以 g（nT）≤ g（x）≤g（（n+1）T）.易得

由导函数g′（x）的单调性有

另一方面，由拉格朗日中值定理[4]知，必∃ξ∈（（n+1）T，（n+2）T），使得

g（（n+2）T）-g（（n+1）T）=g′（ξ）T显然，n→∞⇔ξ→∞，当然也有A.因此

同理，对式（15）左端也有

由夹逼定理并结合式（14），可得式（13）左端极限，同样方法可得式（13）右端极限，再由夹逼定理可得定理结论成立.

注 定理3说明适当选取函数g（x）（满足定理条件），式（12）的极限值仅与函数f（x）及其周期T有关，并恒等于a/T，而与函数g（x）无关!另外，值得注意的是，由于另一被积函数f（x）要求是周期函数，从而无法保证极限存在!因此，即使限制条件g′（x）和f（x）均连续（保证分子的积分上限函数可求导），式（12）也未必可应用L’Hospital法则.

例2 计算极限

解 令

故 g（x）与 g′（x）在[0，+∞）上均单调递增.因此，函数f（x）和g（x）满足定理3的条件，且有T=π，a=从而有

[1]曲元海.一个特定型函数极限的计算与推广[J].通化师范学院学报，2012，33（6）：1—3.

[2]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉：崇文书局，2003.

[3]刘三阳，于力，李广民.数学分析选讲[M].北京：科学出版社，2007.

[4]ХИХТЕНГОЛЬЦГМ.微积分学教程[M].8版.北京：高等教育出版社，2006.