浅谈高考中的构造函数法

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(台州中学 浙江临海 317000)

浅谈高考中的构造函数法

●翟美锁

(台州中学 浙江临海 317000)

函数是中学数学的重要内容，函数思想渗透到高中数学的每一个知识板块，是历年高考的必考内容.引导学生学会应用构造函数解决一些数学问题，不仅为解题提供了一个有效的方法，而且能加深学生对函数的认识.笔者结合近几年的数学高考题以及模拟题，探讨构造函数的方法和技巧.

1 细心审题，留意铺垫——等价转化法

(1)求f(x)的单调区间；

(2008年安徽省数学高考理科试题)

即

m>-eln2.

2 选定主元，巧妙构造——主元法

在许多数学问题中，都含有常量、参量、变量等多个量.通常情况下,有一些元素处于突出和主导地位,可视之为主元.为了解决问题,也可人为突出某个量的地位作用，先将其当作主元,从而进一步把握解决该问题的主元.

(1)求b,c的值及f(x)的单调递减区间；

(2)设p>0,q>0,g(x)=f(x)+x2,求证：

(2013年浙江省六校联考数学试题)

又因为G(p)=0,所以G(x)≤0,即

点评一方面，遇到含多元问题时，主元策略往往带给我们启发，化多元问题为一元问题，体现了化归转化思想；同时,主元策略还表现于主元选择的变通性，选择不同的主元，对于结构不对称的式子能形成不同的解题途径.

3 结构整齐，多变量问题——减元法

(1)讨论函数的单调性;

(2009年辽宁省数学高考理科试题)

分析由于第(2)小题中的不等式结构对称整齐，可作如下变形：

设x1>x2,f(x1)-f(x2)>x2-x1,即f(x1)+x1>f(x2)+x2,若构造函数g(x)=f(x)+x,即等价于证明函数y=g(x)的单调性.

解(1)略.

(2)考察函数

g(x)=f(x)+x=

由于10，即g(x)在(0,+∞)上单调递增，故当00，即

f(x1)-f(x2)+x1-x2>0，

于是

当0

点评本题利用不等式的对称性，把含2个变量的问题转化为函数(1个变量)的单调性，后面的证明较容易.

4 联想迁移——放缩法

例4设a>0,b>0,e为自然对数的底数，

( )

A.若ea+2a=eb+3b,则a>b

B.若ea+2a=eb+3b,则a

C.若ea-2a=eb-3b,则a>b

D.若ea-2a=eb-3b,则a

(2012年浙江省数学高考理科试题)

分析ea+2a=eb+3b,等式结构不对称，因此无法与函数的构造联系起来，但是该等式可以利用适当的放缩来实现对称从而达到构造的目的.

考察选项A,B，因为ea+2a=eb+3b>eb+2b,所以

ea+2a>eb+2b.

记f(x)=ex+2x,由于f(x)在R上单调递增，因此a>b,正确答案为A.

点评局部对称的条件可以通过适当的改进(比如放缩法)转化为条件对称.

构造函数法通过研究函数的单调性，体现了数学中函数、化归的思想，其中也渗透着猜想、探究等重要的数学思想.通过研究近几年的高考题发现，构造函数的题目几乎都在压轴题上，可见难度很大，因此要熟练地掌握函数的性质，灵活地应用数学知识，才能合理地构造出函数.

[1] 宁桂华.构造函数法解决导数问题的研究[J].数学学习与研究，2012(21):10-11.

[2] 武增明.构造函数证明函数背景下的不等式的策略[J].中学数学，2012(15):7-8.