一类不确定奇异时滞系统的鲁棒方差控制*

侯 莉， 张高民， 王宣战

(中国石油大学 理学院，山东 青岛 266580)

一类不确定奇异时滞系统的鲁棒方差控制*

侯 莉， 张高民， 王宣战

(中国石油大学 理学院，山东 青岛 266580)

研究了一类具有范数有界参数不确定性奇异时滞系统的鲁棒方差控制的问题，基于广义系统的方差控制理论、李亚普诺夫稳定性理论以及线性矩阵不等式的方法，给出了不确定奇异时滞系统状态反馈控制器的设计方法.

奇异系统；不确定性；鲁棒方差控制；线性矩阵不等式

工程系统中的许多性能指标可以用系统状态的方差表示，辨识、参数估计、模型降阶等诸多方面的许多理论和方法也可以采用状态或输出的协方差来作为性能的度量指标. 因此，协方差的先驱Skelton教授等人对经典的线性系统的协方差控制已经进行了卓有成效的研究，后来多位学者研究了不同系统的鲁棒方差控制.文献[1，2]研究了不确定连续系统和不确定离散系统，文献[3]研究了不确定离散时滞系统，文献[4]研究了不确定连续时滞系统，文献[5]研究了不确定连续模糊系统.此处研究一类具有范数有界参数不确定性奇异时滞系统的鲁棒方差控制的问题.

1 问题描述

考虑如下的不确定奇异时滞系统：

(1)

其中x(t)∈Rn是系统的状态向量，u(t)∈Rm是控制输入向量，τ>0是滞后时间常数，ω(t)∈Rp是干扰输入向量，z(t)∈Rq是控制输出向量，φ(t)是给定的初始向量值连续函数，E∈Rn×n是常数矩阵rank(E)=r

ΔA0=D0F0G0，ΔA1=D1F1G1，ΔB=D2F2G2

(2)

其中Di，Gi(i=0，1，2)是适当维数的已知常数矩阵，Fi(i=0，1，2)是不确定性矩阵，满足不等式：

FiFiT≤I，i=0，1，2

(3)

其中I是适当维数的单位矩阵.

系统(1)的输出反馈控制器设为：

u(t)=Jx(t)

(4)

其中J是要求解的常数矩阵.

则系统(1)与控制器(4)所构成的系统闭环系统为

(5)

其中Ad=A0+BJ，ΔAd=ΔA0+ΔBJ.令

(6)

(7)

满足Lyapunov方程

(8)

2 预备知识

定义1 设计控制器J，需要同时满足以下性能指标：

成立.

引理3[9](E，A)是容许的充分必要条件是∃Q，满足

EQ=QTET≥0，AQ+QTAT<0

引理4[10]假设(E，A)是容许的，且N≥0，若存在一个矩阵P，满足EP=PTET，AP+PTAT+N=0，则EP≥0.

3 主要结果

定理1 若存在常数α1>0，α2>0，α3>0，矩阵Q∈Rn×n和适当维数矩阵J满足：

EQ=QTET≥0

(9)

(10)

(b) 稳态方差X存在而且满足EXET≤EQ.

证明

(a) 由引理2，若∃α1>0，α2>0，α3>0，矩阵Q∈Rn×n和适当维数矩阵J，得式(10)成立的充要条件是不等式(11)成立

(11)

根据引理1

由式(11)-(14)

(15)

由式(15)得

(16)

(17)

由式(8)(17)有：

EY=YTET≥0

(18)

(19)

式(9)减去式(18)有

E(Q-Y)=(Q-Y)TET

(20)

式(15)减去式(19)有

(21)

再由引理4得E(Q-Y)>0.所以EXET=EY≤EQ.证毕.

EQ=QTET≥0

(22)

(23)

(24)

证明若存在α1>0，α2>0，α3>0，矩阵Q和M使得式(23)成立，则α1>0，α2>0，α3>0，矩阵Q和J=MQ-1满足式(10)，则根据定理1以及定义1，定理成立.证毕.

4 结 论

研究了一类具有范数有界参数不确定性奇异时滞系统的鲁棒方差控制的问题，基于线性矩阵不等式的方法，给出了不确定奇异时滞系统控制器的设计方法.

[1] 俞立.具有区域极点和方差约束的不确定连续系统的鲁棒控制[J].自动化学报，2000，26(4)：509-514

[2] 俞立.具有区域极点和方差约束的不确定离散系统的鲁棒控制[J].控制理论与用，2001，18(4)：621-623

[3] 刘子剑.不确定离散时滞系统的鲁棒方差约束控制[J].常熟理工学院学报，2009，23(10)：74-79

[4] YANG K，LU J G. Robust variance-constrained control for a class of continuous time-delay systems with parameter uncertainties[J].Solitons and Fractals，2009(39)：2179-2187

[5] 王方松.不确定连续模糊系统的鲁棒方差控制[J].控制工程，2004，11(2)：165-167

[6] TAKABA K.Robust control of descriptor system with time-varying uncertainty[J].Int J Control，1998(71)：559-579

[7] 俞立. 鲁棒控制-线形矩阵不等式处理方法 [M].北京：清华大学出版社，2002

[8] BOYD S，LE G，FERON E，et al. Linear Matrix Inequalities in Sys-tem and Control Theory[M].Philadelphia PA：SIAM，1994

[9] XU S，LAM J. Robust Control and Filtering of Singular Systems. Berlin[M].Germany： Spring-Verlag，2006

[10] XIN X，MITA T. On the strong solutions of generalized algebraic Riccati equations [A].Proc 37th SICE Annual Conference[C].1998：791-797

[11] 田克杰.具有方差约束的广义系统控制理论研究[D]. 上海：上海交通大学，2009

Robust Variance Control for a Class of Singular Time-delay System with Parameter Uncertainties

HOULi,ZHANGGao-min,WANGXuan-zhan

(School of Science, China University of Petroleum, Shandong Qingdao 266580, China)

This paper studies the problem of robust variance control for a class of singular time-delay system with norm-bounded parameter uncertainties, on the basis of variance control theory of generalized system, Lyapunov stability theory and linear inequality, provides the method for designing a state-feedback controller for a class of singular time-delay system with parameter uncertainties.

singular system；uncertainty；robust variance control；linear matrix inequality

1672-058X(2013)09-0039-04

2013-04-09；

2013-04-22.

中央高校基本科研业务费专项资金资助(11CX06087A).

侯莉(1987-),女,陕西咸阳人,硕士研究生,从事最优化理论及算法研究.

O231.1

A

责任编辑：李翠薇