三种因素对水电机组主轴频率的影响研究

陈贵清，曲 哲

（1.唐山学院 基础教学部，河北 唐山063000；2.河北联合大学 建筑与土木工程学院，河北 唐山063009）

长期以来水电机组主轴振动问题严重影响着水电站的安全运行，并阻碍着其向大型化方向发展。2009年8月17日，俄罗斯萨扬水电站就发生了严重的安全事故，事故造成75人死亡，13人失踪［1］。这是由于在高水头、大流量和强电磁场的共同作用下，水电机组主轴振动规律不易掌握，隐患长期积累，最终爆发并造成严重后果。更加值得注意的是，为了满足社会快速发展对能源的巨大需求，近些年建成的水电机组单机容量不断提升，水力作用和电磁作用对水电机主轴稳定性的影响也越发显著，因此本文着重对此进行探讨。

研究模型为三峡水电站机组，单机容量为70×104kW，额定转速75r／min，发电机转子质量2.26×106kg，发电机转子极转动惯量1.12×108kgm2，水轮机转轮质量4.5×105kg，水轮机转轮极转动惯量7.5×106kgm2，发电机转子有效长度3.437m，极对数40，额定功率因数0.9。

1 水电机组转子轴系简化模型

1.1 转子轴系质量的离散化

水电机组主轴是一个质量连续分布的弹性系统，见图1，严格来讲其自由度为无穷多个，必须减少其自由度方能进行计算。因此，在转子动力学中，多采用将主轴进行分段的方法，人为地限定轴系自由度的数量。这些分段的结点通常选在主轴的截面有突变处或发电机转子、转轮中心和两端以及导轴承等位置。根据以上分段原则，对三峡水电机组主轴分段如图2所示。本文将三峡水电机组主轴分为12个节点、11段。节点1为主轴的最上端；节点2为上导轴承；节点3，4，5分别为发电机转子的上端、中心和下端；节点6为下导轴承；节点7为法兰，在此加设节点是因为此处主轴截面尺寸发生了明显变化；节点8为水导轴承；节点10处主轴截面尺寸再次发生明显变化；节点10，11，12分别为转轮的上端、中心和下端。

1.2 导轴承

水电机组主轴水平方向受2－3个滑动轴承限制，称为导轴承。三峡机组为3个导轴承，其中上导轴承位于发电机转子的上部，由8块瓦组成；下导轴承与推力轴承共用一个油槽，可以称为推导联合轴承；水导轴承位于水轮机转轮的上面，由12块瓦组成。由于导轴承内部充满润滑油且水电机组主轴系统质量巨大，因而不可能完全限制其移动。本文将各个导轴承均简化为具有一定刚度的水平弹簧。

1.3 发电机转子

水电机组主轴系统的大部分质量集中在转子上，其外围为钢片压成的磁极与磁轭，中心部分为钢架支撑。因此本文根据转子的自身特点，结合有限元法和传递矩阵法对系统简化的不同思想将其简化为两种不同模型：在应用有限元方法时将转子的中心轴简化为质量均匀分布的弹性杆，而应用传递矩阵法时则将其简化为质量平均集中在两端的无质量弹性杆。对于外围的磁极与磁轭，两种方法均简化为3个均分布的集中质量。

1.4 水轮机转轮

水轮机转轮是主轴系统中另一个集中质量部件，由于转轮叶片竖向排列，能够提供水平刚度，所以应用有限元法时将其简化为质量均匀分布的弹性杆；而应用传递矩阵法时则将其简化为质量平均集中在两端的无质量弹性杆。

2 频率影响因素

2.1 附加水质量

转轮叶片之间有很大的空间，在运行时这个空间中会有大量的水驻留并一起旋转，相当于增加了水轮机转轮的质量，但并不改变转轮的尺寸。

2.2 电磁刚度

水电机组在运行当中发生振动，会使得转子偏离平衡位置，再加上制造时转子本身就存在一定的偏心。这样当转子与定子均通有电流时，由于偏心会使得两者互相吸引，而且这种引力会随着二者距离的减小而提高，其方向恰好与偏心的方向一致。这种力的变化规律类似于弹簧力的变化规律，只是这种力对主轴提供的刚度为负值，一般称其为电磁刚度。本文对电磁刚度的附加方式为在转子的中心增加一个刚度为负值的“弹簧”。值得注意的是，只有在系统运行状态下才会出现电磁刚度，所以电磁刚度的存在必须以上面提到的附加水质量的存在为前提。

2.3 陀螺效应

陀螺效应就是旋转的物体保持其原有旋转方向（旋转轴的方向）的惯性，其大小与旋转体的极转动惯量和转动角速度有关，这相当于给主轴系统添加了一个隐形的弹簧，有提高系统固有频率的作用。

3 主轴固有频率计算

3.1 有限元法

有限元法是求解力学问题的一种很有效的数值计算方法，它把连续体看成是若干个离散单元的集合体，这些单元每一个都是既有弹性特征又有质量特征的连续体［2］。相邻单元之间由共用节点连接，此方法就是通过限制相邻单元在共用节点处位移相同这一条件，约束总体的运动状态。通过运用插值法建立位移方程，有限元法将连续体的振动问题变成了有限自由度的振动问题，从而使问题可以借助于线性方程组求解。具体来讲，忽略阻尼系统横向自由振动的特征方程为

其中，M为整体质量矩阵，K为整体刚度矩阵，J为整体极转动惯量矩阵，ω为试算频率。通过将步长固定的试算值逐一代入，符合特征方程的试算频率即为轴系的固有频率。

根据有限元方法算得主轴系统前8阶频率为（单位Hz）：

由以上数据可看出，第8阶频率已达到214.365 8Hz，由于主轴的振动主要是由转动引起的低频振动，因此不再计算更高阶频率。

3.2 传递矩阵法

传递矩阵法认为轴系是由无厚度、刚性的集中质量圆盘和无质量的弹性杆依次间隔组成。其方法是将转轴的截面的状态向量记作｛A｝＝［yθMQ］T，4个元素分别表示位移、转角、弯矩、剪力。这个状态向量由轴系的一端逐一截面传递，在弹性杆的两端弯矩和剪力不发生变化，在圆盘两侧位移和转角不发生改变。综合考虑轴系两端状态向量的实际情况即可求出轴系的频率。其优点在于矩阵的维数不随系统自由度的增加而增大，各阶固有频率的计算方法完全相同，而且程序简单，所需贮存单元少。

应用传递矩阵法算得的轴系前8阶频率为（单位Hz）：

与有限元法算得的频率对比可发现，两种算法的前6阶频率基本相同，可以认为算得的频率值是可靠的。后续频率二者也出现了一定的差别，这是由于二者简化模型的方式不同引起的。特别是传递矩阵法，其结果是通过多步的结果传递得出的，容易出现累计误差，影响结果的准确性。两种算法出现分歧的部分为高阶频率，系统正常运行时不可能达到如此高的频率（系统的飞逸转速不过2.5Hz），所以认为高阶频率误差在本次研究中可不做考虑。为保证结果可相互比较，如无特殊说明后文中均采用有限元方法进行计算。

4 轴系振型图

经计算可得轴系前5阶振型图如图3至图7所示，假定主轴上端位移为1。图3称为0阶振型是指其振型与平衡位置没有交点，系统整体向一侧偏移。由于主轴刚度很大，再加上机组转速较低（75r／min），高阶振型不易被激发，因此图4至图7这4阶低阶振型就显得更加重要，这在3个导轴承位置设计时要充分考虑。

5 多因素影响变化

5.1 附加水质量影响

水电机组运转时水的附加质量一般认为不超过转轮的最大容水质量的50%［3］。经计算可知，三峡机组水轮部分最大容水质量为m＝6.02×104kg，即在水电机组运转时水的附加质量不超过3.01×104kg，这部分质量约为水轮机转轮质量的1／15。将水的附加质量分为5个等级，其对系统振动频率的影响结果数据如表1。

由表1可以看出：随着水的附加质量增加主轴系统的各频率均逐渐下降，随着频率阶数的提高这种影响作用不断减小，直至对第8阶频率不构成影响。而且即使附加水质量达到了最大容水质量的50%，其对第1阶频率的影响也只有2%左右，可见对于三峡主轴系统附加水质量单独作用的影响并不十分明显。

表1 附加水质量与固有频率关系

5.2 电磁刚度影响

根据计算，三峡机组的电磁刚度K＝0.5×109N／m，而且当考虑电磁刚度时一定要考虑附加的水质量［4］。据此，以附加水质量为最大水容量的50%为前提，设计5个等级，研究电磁刚度对主轴系统各阶频率的影响。数据如表2。

表2 电磁刚度与固有频率

从所得结果可以看出：电磁刚度的改变主要影响了主轴系统的前3阶振动频率，对后续各阶频率几乎不产生影响，总体上是随着频率阶数的提高影响作用不断减小，这一点与附加水质量的作用现象类似。当电磁刚度达到0.5×109N／m时前3阶频率分别下降了约6%，8%和1%。这表明电磁刚度单独作用时对三峡主轴系统的固有频率影响相对明显。

5.3 陀螺效应影响

表3中第1组数据为运用有限元法不考虑陀螺效应时系统的各阶频率，第2组数据为运用有限元法考虑陀螺效应时系统的各阶频率，第3组数据是运用传递矩阵法不考虑陀螺效应时系统的各阶频率，第4组数据是运用传递矩阵法考虑陀螺效应时系统的各阶频率。观察数据可以发现，陀螺效应使得第1阶频率提高约25%，第2阶频率提高了4%。这表明陀螺效应是影响三峡机组主轴系统频率的一个重要因素，必须予以考虑。

表3 陀螺效应与固有频率的关系

6 结论

本文分别运用有限元法和传递矩阵法计算了三峡水电机组主轴系统的固有频率，绘制了其前4阶振型图，探究了附加水质量、电磁刚度和陀螺效应对固有频率的影响。发现随着水的附加质量增加主轴系统的各频率均逐渐下降，但随着频率阶数的提高这种影响作用不断减小。电磁刚度的改变主要影响了主轴系统的前3阶振动频率，对后面各阶频率影响很小。考虑陀螺效应会明显提高主轴系统的固有频率。

［1］王国秉.关于俄罗斯萨扬·舒申斯克水电站事故的思考［J］.山西水利科技，2010（2）：1－5.

［2］钟一谔，何衍宗，王正，等.转子动力学［M］.北京：清华大学出版社，1987.

［3］田锋社.提高水轮机稳定性的几点措施［J］.中国农村水利水电，2005（7）：83－87.

［4］马弘达.水电机组主轴系统稳定性分析［D］.唐山：河北联合大学，2012.