基于极限学习机的配电网重构

吴登国，李晓明

（武汉大学 电气工程学院，湖北 武汉 430072）

0 引言

配电网重构是配电自动化系统的重要组成部分，是配电调度控制的重要依据，通过改变配电系统中的分段开关、联络开关的组合状态来改变网络拓扑，实现预定的目标。配电网重构的优化目标有：最小化系统有功功率损耗、负荷平衡、供电恢复或其中几项的组合［1］。配电网重构是一个有约束的多目标大规模非线性组合优化问题，通过重构可将负荷转移，以平衡负荷，消除变压器和线路过载，提高供电可靠性和电压质量，降低网损，提高配电网的经济性，是实现优质、可靠和经济运行的重要手段。

据统计，总发电量的5%～13%损耗在配电网络上［2］，因此以最小化网损为目标的配电网重构具有重要的意义。目前关于减小网损的算法主要有启发式方法、数学优化理论和人工智能方法等。数学优化方法如分支定界法［3］、单回路优化法［4］等，可以得到不依赖于配电网初始结构的全局最优解，但属于“贪婪”搜索算法，计算时间很长，而且随着维数的增多将导致严重“组合爆炸”问题，不能处理复杂的大规模的电力系统。启发式方法有最优流模式法［5］和支路交换法［6］等，这些方法虽然加快了速度，但每次系统负荷改变都需要重新计算潮流搜索寻优，有时只能使系统达到次最优状态。人工智能方法主要有模拟退火法、神经网络法［1，7-8］、遗传算法、专家系统等［9］。文献［1，7-8］利用神经网络来描述负荷模式和最优网络结构之间的映射关系。神经网络利用其强大的非线性学习能力，通过对训练样本的学习，能够根据输入的负荷模式给出对应的最优网络结构类别，不需要进行潮流计算，可以在很短的时间得出结果。但它以经验风险最小化为原则，其精度取决于样本，因完整的样本难以获得，需要较长的时间来训练样本，容易出现过学习，难以保证泛化性能，且训练结果不稳定。

极限学习机ELM（Extreme Learning Machine）是2006年由新加坡南洋理工大学黄广斌教授提出的一种新的单隐含层前向神经网络SLFNs（Single-hidden Layer Feed-forward neural Networks）的学习机［9-10］。ELM保证网络具有结构简单、学习速度快的同时，利用Moore-Penrose广义逆求解网络权重，获得较小的权重范数，避免了基于梯度下降学习方法而产生的诸多问题，如局部极小迭代次数过多、性能指标及学习率的确定等，可获得良好的网络泛化性能。ELM可用以反映配电网负荷模式与配电网最优结构之间的非线性关系，已在多个领域得到了应用［11-14］。但是ELM仍是基于经验风险最小化原理，在样本数量有限情况下会导致过学习问题，而且训练结果不稳定。

本文结合统计学习理论中的结构风险最小化原则来改进ELM，提高其泛化能力，并将其应用于配电网重构，与ELM、BP神经网络和支持向量机SVM（Support Vector Machine）［15］等方法比较其性能。

1 ELM基本原理

研究证实，对于N个不同实例的有限集，一个最多只需要N个隐含层节点的具有非线性连续激励函数的SLFNs，就可以无误差地逼近这N个实例［16-17］。基于此，黄广斌提出的ELM算法如下。

给定 N 个学习样本矩阵（xi，yi），ELM 对应连续的目标函数 f（xi），向量 xi=［xi1，xi2，…，xin］TϵRn，向量yi=［yi1，yi2，…，yim］TϵRm，i=1，2，…，N，且给定所构造网络的L个单隐含层节点和隐含层节点激励函数g（xi），则存在 βi、wi和 bi，使 SLFNs 能以 0 误差逼近这N个样本，则ELM模型由数学表示为：

应用于二分类的ELM数学模型为：

其中，j=1，2，…，N；网络输入权重向量 wi=［wi1，wi2，…，win］T，表示输入节点与第i个隐含层节点连接权重；bi表示第i个隐含层节点的阈值；wi·xj表示向量wi和 xj的内积，隐含层节点参数 wi和 bi随机在［-1，1］之间产生；网络输出权重向量 βi= ［βi1，βi2，…，βim］T，表示第i个隐含层节点与输出节点连接权重；i=1，2，…，L。

由矩阵来表示N个式（1）为：

由文献［11］定义，H为网络隐含层输出矩阵。由于L≪N，H为非方阵，当任意给定wi和bi时，由Moore-Penrose广义逆定理，求得唯一解H-1，则β为：

由线性最小二范数与式（4），可获得矩阵H为：

其中，Y=［y1，y2，…，yN］。

由矩阵H及式（5）可得到解β，从而可确定ELM网络参数，完成ELM网络如图1所示。由图1可见，ELM网络参数（隐含层节点数L、激励函数g（x）和任意 wi、bi，x泛指任意输入参数）只需一次设定，无需迭代调整，网络训练速度得到极大提高。

图1 ELM网络Fig.1 ELM network

2 结构风险最小化的ELM

由统计学习理论知，实际风险包括经验风险和置信范围。在有限的样本下，置信范围越大，实际风险与经验风险之间的差别也越大，这就是机器学习会出现过学习的原因。神经网络学习应同时考虑经验风险和置信范围最小，从而使实际风险最小，此即结构风险最小化准则。数学约束优化模型可表示为：

将式（7）、（8）条件极值问题转化为 Lagrange函数求解：

其中，α=［α1，α2，…，αN］，αjϵRm（j=1，2，…，N）代表Lagrange乘子。

式（9）分别对 β、ε 和 α 求偏导，并令其为 0，可得最小化条件：

由式（10）得：

其中，I为单元阵。

式（11）中只含有一个 L×L（L≪N）矩阵的逆操作，所以计算β的速度非常快。

3 基于ELM的配电网模型重构

配电网络多采用辐射型、环式或网格式结构方式，正常运行时以开环方式运行，联络开关一般处于断开状态。网损最小的配电网络重构数学模型为：

其中，b为支路数；ki为开关i的状态变量，是0-1离散量，0代表打开，1代表闭合；ri为支路 i的电阻；Pi、Qi为支路i末端流过的有功功率和无功功率；Ui为支路i末端的节点电压；等式（13）为潮流方程，K为控制变量，即网络开关状态变量，M为状态变量，包括P、Q、U等运行参数矢量；Ii和Iimax为支路i的电流和最大电流限值；Ujmin和Ujmax为节点电压Uj的下限和上限值。

以网损最小化为目标的配电网重构，由于开关很多，难以用常规的数学模型直接建立负荷与网损最小时的开关状态之间的关系。神经网络可以反映配电网负荷模式与最优结构之间的非线性关系，可以将配电网负荷模式作为输入、相应的网损最小时的开关状态作为输出。

对于一个配电网络，当每段负荷母线的负荷大小都为确定的负荷水平时就组成了一个负荷模式。若整个配电网有负荷母线n条，负荷划分为p个水平，假定每条母线负荷变化不受其他因素影响，那么负荷模式就有pn个。若配电网开关有m个，则ELM输入向量xi为n维，输出yi为m维。每一个输出分量与配电网中的一个开关相对应，用一组二进制数据来表示，0表示打开，1表示闭合。负荷水平可按表1划分，表中负荷值为占峰值的百分数。

表1 配电网负荷水平分类Tab.1 Load levels of distribution grid

从配电网全部的负荷模式中确定网损最小时的开关拓扑结构，然后随机选取一定数量分别作为训练集和测试集，对ELM网络进行训练和测试，将输出的开关状态与最优拓扑对比，验证网络的性能。具体重构流程如下。

a.根据配电网结构找出所有的负荷模式，选取一定数量的训练集（X，Y）和测试集（X′，Y′），X 和 X′代表输入的负荷模式集，Y和Y′代表输出的开关状态集。

b.选择ELM的隐含层节点数组合Ls，结构风险最小化规则项常数集合γs，激励函数g（x）选择RBF函数：

c.训练ELM，运用交叉验证法选取最优L和γ，得到ELM最优网络模型，若未达到要求，则改变集合Ls和γs，重新训练，直至达到要求。

d.保存最优ELM网络模型，在不改变配电网的情况下，根据当前负荷模式，可快速地输出网损最小时的开关组合状态。

4 实验仿真

ELM程序采用黄广斌教授个人主页上的ELM程序［18］，将结构风险最小化的 ELM 在 MATLAB7.0环境下进行编程仿真测试，实验电脑配置为Windows XP，Intel（R） Pentium（R） Dual 1.60 GHz，1 G 内存。训练和测试的样本根据支路交换法原理［6］通过VC++6.0编程实现，得到各种负荷模式下的网损最小时的开关组合。支路交换法首先计算初始潮流和网损，利用潮流计算的结果将负荷用恒定电流表示，每次闭合两端电压差最大的联络开关形成一个环网，选择打开环网中一个分段开关，使配电网恢复为辐射网，从而实现负荷转移，达到负荷均衡和降低网损的目的。配电网重构的关键在于根据当前的负荷模式，找到合适的开关，改变网络结构，达到网损最小。

4.1 算例1

选取文献［7］中的12.66 kV的典型配电网三馈线试验网络，如图2所示，含有16个母线节点（B1，B2，…，B16），13 个母线负荷分段开关（S1，S2，…，S13），初始断开的 3 个联络开关（T14，T15，T16）。网络参数如表2所示，表中负荷为接在母线末端的峰值负荷。该网络为环状结构，辐射状运行。

图2 配电网典型三馈线试验网络Fig.2 Typical experimental distribution grid with three feeders

表2 三馈线16节点网络支路、负荷数据Tab.2 Branch and load data of a 3-feeder 16-bus grid

根据表1将负荷水平划分为7类，共有负荷模式713种，但ELM网络无法训练这么庞大的负荷模式。为克服此困难，由文献［7］知，表现出不同峰值时间的母线负荷具有不同的特征，如居民用电、商业用电、工业用电等，分别用1、2和3表示，并对算例1中的负荷类型进行分类，如表2所示。通常，类似的负荷特征具有相似的变化趋势，配电网络中不同的负荷类型只需要取其中一种就可反映整个配电网的变化情况。即使负荷具有混合类型特征，神经网络也能够识别。因此，将其类型特征考虑进去，对于母线负荷划分为p个水平的配电网，其负荷水平组合降为p3个。算例1中，其负荷水平组合为73=343种，且此组合与系统大小无关。仍由文献［7］知，实际中，通过基于负荷组合训练得到的大量系统最优拓扑结构是相似的，因此可以得到较少的系统统一的拓扑结构，并且远小于开关数量。

首先在73个负荷水平组合模式下，随机选择3500个负荷组合，由支路交换法得到相应的最优拓扑结构。将其中3000个负荷模式和其相应的网损最小时的开关组合，作为ELM的训练集合，另外500个模式作为测试集合。ELM网络的输入为包含13个分量的向量，输出为16个分量组成的开关状态。激励函数选为RBF高斯核函数，隐含层节点数组合Ls=［5，10，15，20，30，35，50］，规则项常数 γs=［500，100，50，10，1，0.1，0.01］，共有 7×7=49 种集合，采用循环程序将每一种组合代入到ELM中，进行交叉验证参数寻优。

经过实验，可得结构风险最小化的ELM最优参数组合为：L=62，γ=0.1，测试结果与支路交换法计算的结果差异14次，差异率为2.8%，满足实际要求。若将测试的结果与实际结果作比较，一致时为0，差异时为1，则实际结果和测试结果误差如图3所示。最后将出现差异的测试模式用PSASP程序进行网损计算分析，仅6个模式也即只有1.2%的模式比支路交换法得到的结果略大，其他模式结果与支路交换法接近或略小。因此，基于结构风险最小化的ELM比支路交换法重构的效率更高，错误率更低。

图3 测试误差结果Fig.3 Result of test error

另外分别采用基于经验风险最小化的ELM、SVM和BP神经网络对上述配电网络进行重构，训练和测试样本不变，各种方法均在调试的最优情况下进行，性能比较结果如表3所示。可见，与SVM和BP神经网络相比，基于结构风险最小化的ELM不仅泛化性能更好，而且速度是它们的几十倍以上，适合于大规模实时控制；与基于经验风险最小化的ELM相比，其测试正确率大幅提高，速度也基本相当。

表3 各种方法的性能比较Tab.3 Comparison of performance among different methods

4.2 算例2

选取美国PG&E的69节点配电系统［19］，如图4所示，需要重构的配电系统有73条支路，初始断开5个联络开关：T11-66、T13-20、T15-69、T27-54、T39-48（数据表示节点连接编号），构成树形配电网络，系统参数在此略去，详见文献［19］。

图4 美国69节点配电网Fig.4 69-bus distribution grid of America

将负荷水平划分为7类，采用算例1中的压缩负荷模式的方法，同样先用支路交换法得到ELM的负荷模式学习样本3500个，分别选取其中2000个和3000个作为训练样本，另外均选取500个作为测试样本，并用基于经验风险最小化的ELM、SVM和BP神经网络来进行网损最小化重构比较，用以检验基于结构风险最小化的ELM重构性能。如表4所示，增加训练样本情况下，虽然各种方法都可以降低重构错误率，提高泛化性能，实现全局逼近最优，但SVM和BP神经网络训练时间则明显增加很多，而基于结构风险最小化的ELM训练时间只比基于经验风险最小化时稍长一点。

表4 4种方法的重构性能比较Tab.4 Comparison of reconfiguration performance among four methods

5 结论

本文将结构风险最小化准则应用于新型的ELM神经网络，根据负荷模式对配电网进行网损最小化重构，避免了使用传统的启发式方法每次负荷变化带来的繁复迭代寻优，并与SVM、BP神经网络和基于经验风险最小化的ELM的配电网重构效果进行比较，克服传统神经网络学习速度慢的问题，泛化性能更好，速度也与基于经验风险最小化的ELM基本相当。ELM随着训练样本的增加，重构效果更好，然而需要通过其他启发式方法获得大量且覆盖面广的学习样本作为支持，并且随着网络结构的改变而需要重新训练。