一种改进小波阈值的图像去噪算法＊

乔林峰 王 俊

（1.陆军军官学院研管大队1队 合肥 230031）（2.陆军军官学院数学教研室 合肥 230031）

1 引言

随着小波理论研究的深入，其应用也日趋广泛，其中，利用小波变换进行去噪始终是一个热点。在图像去噪领域，小波图像去噪方法已成为一个重要的分支和主要的研究方向。目前小波去噪方法大致有三类：第一类是基于小波变换模极大值原理进行去噪；第二类是对含噪声信号作小波变换之后，计算相邻尺度间小波系数的相关性，根据相关性区别小波系数的类型，进行取舍，然后重构信号；第三类是小波阈值去噪方法。上述三类去噪方法中最早被提出的是小波阈值去噪方法，它是一种实现简单而且效果较好的去噪方法。本文对其阈值函数进行了改进，通过实验仿真，其能较好地保留图像的边缘细节信息，去噪效果很明显。

2 小波阈值去噪的基本原理

1）理论依据

设有含噪模型：f（k）＝s（k）＋n（k），k＝0，1，2，…，N－1，其中，s（k）为原始图像信号，n（k）为方差为σ2，服从 N（0，σ2）分布的高斯白噪声。

对f（k）作离散小波变换得：wj，k＝Ws（j，k）＋Wn（j，k），j＝0，1，2，…，J；k＝0，1，2，…，N其中，ωj，k，Ws（j，k）和 Wn（j，k）分别为含噪图像，原始图像和噪声信号在第j层上的小波系数；J和N 分别为小波变换的最大分解层数和图像的总像素数。由小波变换的线性性质知，对f（k）作离散小波变换后，得到的小波系数wj，k，仍然由两部分组成，即原始图像s（k）对应的小波系数Ws（j，k），记uj，k，和噪声信号n（k）对应的小波系数 Wn（j，k），记vj，k。

小波阈值去噪的主要理论依据为：有用的图像信息表现为低频信号或是比较平稳的信号，而噪声信号则表现为高频信号。因此经小波分解后，信号的小波变换系数要大于噪声的小波变换系数。于是可以找到一个合适的数作为阈值（门限），当 wj，k小于该阈值时，认为这时的 wj，k主要是由噪声引起的，可将其置为零；当wj，k大于该阈值时，认为这时的wj，k主要是由信号引起的，可对其进行保留或收缩，从而实现了信噪的分离。

2）具体步骤

（1）含噪声图像的小波分解。对含噪图像信号f（k）进行离散小波变换，得到各尺度小波系数wj，k。

（2）小波分解高频系数的阈值处理。对各尺度小波系数wj，k进行阈值处理，得出估计小波系数＾wj，k，使‖＾ωj，k－uj，k‖尽可能的小。

（3）图像的小波重构。利用＾wj，k进行小波重构，得到含噪图像信号f（k）的估计信号＾f（k），即为去噪后的信号。

3）阈值函数的选取

最常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数两种。

（1）硬阈值函数：

（2）软阈值函数：

其原理图如下：

图1 硬、软阈值函数

硬阈值和软阈值函数虽然在实际中得到了广泛的应用，也取得了比较好的去噪效果，但这些方法本身还存在着一些潜在缺陷。利用硬阈值方法进行图像处理，得到的估计小波系数值连续性差，即在±λ处是不连续的，利用进行重构得到的图像可能会产生振荡、Gibbs效应（截断效应）等视觉失真；而利用软阈值方法估计出的小波系数虽然整体连续性很好，但是由于当小波系数较大时，即当时和 wj，k之间总会存在恒 定的偏差，这将会直接影响重构图像和真实图像的逼近度，给重构图像带来不可避免的误差。另外，传统的软阈值函数导数不连续，然而在实际的应用中经常要对一阶甚至是高阶导数进行运算处理，所以其具有一定的局限性。

3 改进的小波阈值算法

本文根据上述两种函数的不同优点，结合斜坡阈值技术［10～11］（Ramp threshold function），提出了一种新的阈值函数，用于小波系数的估计运算，其计算公式如下：

图2 新阈值函数（m＝1／2，n＝3）

改进后的阈值函数（取m＝1／2，n＝3）如图2所示。

由以上表达式和原理图可知，该函数有以下几个特点：

（3）具有与软阈值函数相同的连续性。

g利用了斜坡阈值技术，可以有效地克服Gibbs效应。

4 算法流程

本文改进小波阈值算法的流程图见图3，具体步骤如下所示：

图3 改进小波阈值算法流程图

5 仿真实验结果与分析

下面采用噪声方差为0.01的高斯白噪声，以lena512×512图像为例，为了验证改进小波阈值算法的去噪效果，选取SYM4小波对含噪图像进行三层分解，然后分别用软阈值函数，硬阈值函数和本文提出的改进的阈值函数计算小波系数，再用SYM4小波进行重构，得到去噪图像。

图4是以lena512×512图像为例的实验结果，从图4（e）可以看出图像的含噪量得到明显地减少，并且能够很好地保留图像的纹理细节。

图4 lena图像去噪结果

表1 lena图像去噪结果比较

从表1的数据可以看出，本文提出的算法与传统的软、硬阈值方法相比，均方误差MSE明显下降，信噪比SNR和峰值信噪比PSNR方面都有明显的提高，能够较好地保留图像的边缘和细节信息，去噪效果很好。

6 结语

本文介绍了小波阈值去噪的基本原理以及软、硬阈值方法去噪的优缺点，并结合斜坡阈值技术提出了一种改进小波阈值的图像去噪新算法。仿真实验表明：该算法对图像进行去噪，得到了较低的均方误差和较高的信噪比，并且有效地去除了Gibbs效应，保留了较多的边缘和细节信息，达到了很好的去噪效果。

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