新型三平动并联机床的运动分析

李琳，李开明

（南京理工大学机械工程学院，江苏南京 210094）

0 前言

并联机床是在现代数控技术、机床技术和机器人技术基础上发展出的一种高精度、高柔性的制造设备。同串联机床相比，并联机床具有独特的优点，克服了串联机床存在的缺点［1］。它将空间并联机构的特点应用到机床中，综合利用计算机软件、电子控制等设备，取代部分机械传动，能够很方便地实现较复杂的空间运动。与传统机床相比，并联运动机床具有结构简单、刚度高、动态性能好、反应速度快、可重构等优点［2］。由于并联机床理论上所具有的一系列优点，近年来已成为一个十分热门的研究方向。但是在实际应用中，还有许多技术问题尚待攻克。

并联机构的复杂性首先表现为并联多闭环机构内在的运动学的复杂性。奇异位形是机构的一个非常重要的运动学特性，机构的运动受力、控制等各方面的性能都与此有密切关系。在并联机构的研究中，当并联机构处于奇异位形时，其操作平台具有多余自由度，此时机构就会失去控制。奇异性是并联机器人机构学研究的重要内容，本文对并联机床的奇异性和平稳性进行深入研究，为并联机床结构确定关键技术参数提供依据。

1 运动学方程的建立

该并联机床通过六条支链连接上下两平台，六根丝杆两两平行，即 A1B1//A2B2，A3B3//A4B4，A5B5//A6B6。下平台固定，上平台可进行平动，六根结构、长度相同可以分别调节的支撑杆用球面副连接上下两平台，其中有两组杆与上平台铰接时采用了复合铰链设计，通过特定的铰链布置和支链伸缩杆同步驱动限制了末端执行器的三个转动自由度，实现机构三维移动。

图1 机构简图

首先建立坐标系［图1（b）］。固定坐标系O－xyz固联于下平台，坐标中心O与下平台几何中心重合，Ox轴与OB1重合，Oy按右手定则确定，Oz轴垂直于固定平台向上。动坐标系 P － x＇y＇z＇与上平台固联，中心 P 与上平台几何中心重合，x＇轴与Pc1重合，y＇按右手定则确定。

下平台各铰链中心点Ai及组杆铰链点Ci（图2）在固定坐标系中的坐标为:

图2 下平台

其中 B5B6=B3B4=B1B2=D=r。

设上平台坐标系P－x＇y＇z＇原点 P 在定坐标中坐标为（xp，yp，zp），则齐次变换为:

图3 上平台

其中R表示动坐标系对定坐标系的方向余弦。则动平台上的铰链点ci在固定坐标系中的位矢可表示为:

由于本文的研究对象为三自由度平动机构，

并联机构的复杂性导致机构的位置正解难度较大，但本机构由于具有特殊性，具有唯一解析正解。其解如下:

2 奇异性

当机构处于某些特殊位置时，其雅克比矩阵将成为奇异阵，其行列式的值为零，机构的速度正反解不存在。把并联机构的这些特殊位置称为奇异位形或特殊位形。奇异性是并联机床结构参数设计所需考虑的重要因素。当并联机床处于奇异形位时，机构将获得多余不可控的自由度或者变得刚化而失去部分自由度。机构自由度的丧失意味着机构某种功能的丧失，而机构获得额外的自由度则会导致机构失控，因此在设计和应用时应该尽量避开其奇异位形［3-4］。

即:

3 平稳性研究

三阶逆雅可比矩阵为:

以基坐标系o－xyz为参考系，动平台坐标系原点P在基坐标系o－xyz中坐标为（xp，yp，zp），假设P点在Z=950 mm截面内做圆周运动，其运动方程为:

其中t的单位为s，xp，yp，zp单位为 mm。其他结构参数如下:静平台半径R=1 000 mm，动平台半径D=350 mm，驱动杆杆长lmin=900 mm，lmax=1 900 mm。利用 MATLAB进行数据处理，得到杆和动平台线速度和线加速度曲线。其中图4为各杆的速度;图5为各杆加速度;图6为动平台速度;图7为动平台加速度。

图4 各杆的伸缩速度

由图4～图7可知:杆1最大线速度为31.387 mm/s，最大线加速度为49.303 mm/s2;杆2最大线速度为28.894 mm/s，最大线加速度为45.387 mm/s2;杆3最大线速度为28.895 mm/s，最大线加速度为45.39 mm/s2，曲线沿 x 轴呈正余弦变化。动平台中心点最大线速度为47.122 mm/s，理论值为47.124 mm/s，最大线加速度为74.021 mm/s2，理论值为74.022 mm/s2。该机床驱动杆的伸缩速度曲线连续并且非常光滑，说明该机床运动时的平稳性较好。

4 结束语

［1］王传强，赵恒华.3-TPT并联机床奇异性及平稳性研究［J］.组合机床与自动化加工技术，2010，（10）:26-28.

［2］刘素明，赵强，李军.3-2HSS并联机床运动学分析及运动仿真［J］.机床与液压，2008，（9）:115-117.

［3］陈旭，邓亮，蔡光起，等.基于3-UPS机构并联机床的运动学分析［J］.机械与电子，2005，（6）:9-11.

［4］王传强，赵恒华.并联机床的奇异性研究［J］.石油化工高等学校学报，2010，（6）:84-88.