混凝土喷射台车工作臂逆向运动学研究

韩 勇，管会生

(西南交通大学机械工程学院，四川 成都 610031)

0 引言

混凝土喷射台车是一种利用机械臂和压缩空气将混凝土输送并喷射到施工面的自行式机械，被广泛应用于隧道、矿山等地下工程的建设中。我国对混凝土喷射台车的应用与研究始于20世纪70年代。近年来，不断对国外混凝土喷射机械臂进行引进、消化、吸收再创新，目前已有几家企业成功研制出混凝土喷射台车，其综合性能指标已达到了相当高的水平，可以满足国内部分工程项目的需要。

在以往的研究中:文献［1－2］总结了地下工程建设机械化施工技术;文献［3－5］具体介绍了混凝土喷射台车在隧道和矿山建设的应用、发展、施工工艺以及存在的技术难点。机械臂是混凝土喷射台车的主要工作装置，具有调节喷头空间位置与姿态的功能。对于复杂的喷射路径，需要有一套联动控制的机制，控制各油缸动作，驱动机械臂的关节运动，使末端工作器按给定路径移动。文献［6］给出了机械臂数学模型化的方法;文献［7］介绍了机械臂的控制技术;文献［8－10］将机器人臂的分析技术应用于工程机械工作臂的研究，在已知臂关节参数变量的条件下计算出工作臂末端可达空间，提供了工程机械工作臂正向运动学的研究实例。

为解决机械臂末端执行器工作路径控制的问题，需进一步研究喷射路径与机械臂关节参数变量的关系。在喷射混凝土作业中，喷射路径是依照工程需要预先给定的。因此，与文献［8－10］不同的是，喷头位置已知而机械臂关节运动过程未知。计算机械臂各关节参数将涉及到运动学逆向求解(文献［8－10］属于正向运动学求解)。

本文以Spraymec 9150 WPC型混凝土喷射台车工作臂装置作为研究对象，利用逆向运动学的方法，研究机械臂位姿参数与喷头运动轨迹的关系。

1 混凝土喷射机械臂的结构与工作原理

Spraymec 9150 WPC型混凝土喷射台车是由Normet公司开发的一种多功能隧道移动混凝土喷射设备，可用于横截面积15～200 m2和高度为15 m的工作空间。该台车工作装置(如图1所示)集高效能的机械臂和工作平台于一体，主要由基座、大臂、平台基座、人员操作平台、小臂和喷头等部分组成。

混凝土喷射作业步骤为:

1)台车移动。驾驶员操作台车进入喷射位置，放下支腿，固定台车位置。

2)大臂动作。大臂油缸驱动大臂工作，将人员平台送至喷射工作面。保证工作区域在小臂工作空间之内，且操作人员视野良好。

3)小臂动作。人员篮小臂将喷射头送至喷射位置并采用S型路径往返前进。同时，将混合均匀的混凝土输送至喷头，均匀喷射在工作壁面上。

图1 Spraymec 9150混凝土喷射台车机械臂(单位:mm)Fig.1 Working arm of Spraymec 9150 shotcreting machine(mm)

2 运动数学模型的建立

混凝土喷射机械臂可被看做由一系列转动副和移动副连接而成的杆件组。在各杆件都不变形的前提下，在各杆件上确立对应的笛卡尔坐标系，并且保证坐标系与对应杆件相对固定，利用Denavait－Hartenberg(D－H)方法，以4×4的矩阵来描述某杆件与相对固定参考坐标系的三维几何关系。将一系列空间关系矩阵按机构运动关系首尾相乘，就可以得到机械臂末端相对于基座坐标系的位置关系矩阵，最终建立混凝土喷射机械臂的位姿矩阵。具体步骤如下:

1)建立杆件坐标。除去油缸后的机械臂结构简图如图2(a)所示，在杆件 Li(i=0，1，…，7)上固结坐标系XiYiZi。其中，杆件 L1—L4的 X坐标垂直向外杆，杆件L5—L7的X坐标垂直向内，X0Y0Z0坐标为地面，X7Y7Z7坐标为喷头位置，喷头原点被固结在小臂尖端中心位置。绘制的杆件坐标简图如图2(b)所示。根据工作臂机构结构参数和杆件坐标可得到其杆件参数，各杆件参数如表1所示。

图2 工作臂结构Fig.2 Structure of working arm

表1 机械臂杆件参数Table 1 Pole parameters of manipulator

2)建立空间位姿矩阵。XiYiZi坐标相对地面坐标系X0Y0Z0的空间位姿矩阵Li可表示为各杆件矩阵按顺序首尾相乘的形式，为

式中:三行三列矩阵Ri3×3是XiYiZi坐标的姿态参数矩阵，决定其在空间中对应坐标系的姿态;(xi，yi，zi)T是位置参数矩阵，确定其空间位置坐标。

杆件矩阵i－1Ti有通式，为

根据机械臂杆件参数(如表1所示)，可知杆件矩阵0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6、6T7分别是关于变量 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7的函数。所以 7 个杆件矩阵可表示为:0T1(θ1)、1T2(θ2)、2T3(d3)、3T4(θ4)、4T5(θ5)、5T6(θ6)、6T7(d7)。

3 逆解方法

逆解问题是在目标矩阵位置参数已知的情况下，求整臂位置姿态——各杆件参数的问题。

混凝土喷射机械臂逆解的已知条件:小臂终端X7Y7Z7坐标相对于 X0Y0Z0坐标的位置(x7，y7，z7)。求解目标:机械臂各杆件参数变量(θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7)。

在无附加条件的情况下，显然逆解将得到多组臂形解。为确定一组合理臂形解，将整臂逆解分为以下3步:

1)确定大臂终端点。根据喷射路径，找到合适的人员平台位置，确定大臂终端X4Y4Z4坐标(x4，y4，z4)。

2)确定大臂运动，解大臂杆件参数。根据大臂终端点坐标，解出大臂杆件参数矩阵0T1(θ1)、1T2(θ2)、2T3(d3)、3T4(θ4)。

3)求小臂杆件参数。将求出的大臂参数L4和已知参数X7Y7Z7的坐标(x7，y7，z7)代入整臂位姿矩阵，解得出小臂杆件矩阵4T5(θ5)、5T6(θ6)、6T7(d7)。

3.1 大臂终端位置

大臂臂形与人员平台的位置有关，为找出大臂终端X4Y4Z4位置，应确定合理的人员平台位置。

合理的人员平台位置应满足以下2个条件:

1)操作人员应有良好的操作视野。

2)喷射工作区域在小臂工作空间之内。

因此，人员平台应位于喷射工作面中心(点Pc)正前方。喷射区域与人员平台关系如图3所示。图中X4Y4Z4为大臂终端，该点与平台底部连接。D为大臂终端与喷射区域中心点Pc的横坐标距离，考虑小臂伸长距离，取值为2.5～3 m。Z为大臂终端与喷射区域中心点Pc的纵坐标距离，其取值与操作人员目视高度有关，可取1.4 ～1.6 m。

图3 喷射区域与平台位置关系Fig.3 Position relationship between working area and platform

确定人员平台位置的步骤如下:

1)根据喷射路径找出工作面中心nc。以隧道中线某处为坐标0点，在喷射路径上均匀地取n个点Pn(xn，yn，zn)，通过式3可得到喷射中心点Pc的空间坐标(cx，cy，cz)。

2)求出人员平台中心L点。以喷射隧道侧墙为例，X4Y4Z4相对于 X0Y0Z0的空间位置坐标 (x4，y4，z4)为:

3.2 大臂参数求解

已知大臂末端坐标(x4，y4，z4)，大臂姿态就能被确定。在式(1)中，当取i=4，可得大臂末端(杆件4坐标X4Y4Z4)相对地面的位姿矩阵为:

考虑到人员平台与地面水平，将条件θ1=－θ4代入式(5)，等式右侧矩阵相乘可得:

提取式(6)中矩阵的位置参数可得:

经计算整理后可得出4个变量的解:

式中:A= －x4·sin θ1+y4cos θ1－a4;B=xz－d1－d4。

3.3 小臂参数求解

已算得大臂杆件参数矩阵L4，式(1)取i=7，可得小臂末端(杆件7坐标X7Y7Z7)相对地面的位姿矩阵

此时逆解整臂问题的未知量仅剩下3个小臂杆件参数 θ5、θ6、d7。计算可得出:

式中:C=cos θ1·x7+sin θ1·y7－sin θ1·y4－cos θ1·x4;D= － sin θ1·x7+cos θ1·y7－ cos θ1·y4+sin θ1·x4。

4 应用

按照实际喷射混凝土喷射工况［1］，在侧墙上定义一条起点坐标为(5 000，3 800，7 800)的喷射路径(如图4所示)，根据该路径计算机械臂各关节运动参数曲线。

图4 喷射路径(单位:mm)Fig.4 Shotcreting path(mm)

按逆向解方法求以上路径对应各个运动副的参数曲线，过程如下:

1)在路径上均匀取1 000个点;

2)求每个点对应的 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7值;

3)将每个关节的数据拟合成曲线，得到5条转动副参数曲线和2条平移副参数曲线;

4)将 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7曲线以 ASCII码的形式保存至 joint1.txt、joint2.txt、…、joint7.txt文件。

编写Matlab程序实现上述功能，程序框图如图5所示。

图5 程序运行框图Fig.5 Program block

设定路径上取点数n=1 000，计算步数为2 000。输出仿真结果，得到转动副参数曲线(见图6)和平移副参数曲线(见图7)。

5 虚拟样机验证

为论证逆解的正确性，设计虚拟样机实验来验证逆解结果。

采用SolidWorks软件进行三维建模，利用COSMOSMotion进行运动仿真实验，从而验证逆解方案。

根据预定喷射路径，通过逆解求得了 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7共 7 个变量曲线。利用正向运动学思想，将这些运动曲线赋值给机械臂的对应关节驱动电机，通过运动仿真，观察机械臂末端的运动路径与预定喷射路径是否一致。

5.1 虚拟样机的建立

利用SolidWorks软件建立混凝土喷射机械臂各零件的简化模型，除去油缸和销轴，装配整臂。在COSMOSMotion插件中，定义基座为静止零件，其他零件为运动零件。软件根据装配条件生成如下运动副:转动副joint1、转动副joint2、移动副joint3、转动副joint4、转动副joint5、转动副joint6、移动副joint7，然后在上述运动副上添加驱动电机。

将 joint1.txt、joint2.txt、…、joint7.txt文件以样条曲线的形式依次导入至joint1、joint2、…、joint7对应的驱动电机中。

建立混凝土喷射机械臂虚拟样机如图8所示。

图8 机械臂虚拟样机Fig.8 Virtual prototype of manipulator

5.2 仿真结果

为观察人员篮和小臂末端运动轨迹，分别在人员篮转动基座和小臂第二节伸缩臂末端定义轨迹跟踪［8］。

设置仿真时间为200 s，帧数为2 000，选择积分器类型为GSTIFF。机构路径仿真结果如图9所示。

对比图9和图4，不难看出，正向仿真运动轨迹线和预先定义的喷射路径相符合。该现象说明:按照逆解得到的各关节运动曲线可以驱动机械臂尖端按照预定路径运动。

图9 运动轨迹Fig.9 Trajectory

6 体会

本文运用几何解法，给出了Spraymec 9150 WPC型混凝土喷射台车工作臂的一种逆解方案，并设计了虚拟样机实验，对逆解结果进行验证。验正结果证明逆解正确，可作为同类机械臂末端执行器控制的参考。

本文建立数学模型时默认各杆件为刚性杆件，在真实杆件形变作用下，实际情况和理论计算存在一定偏差。如考虑杆件变形因素的影响，可使计算更精确。

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