静电场中高斯定理的证明

付 静， 姜广军

（吉林建筑工程学院城建学院 基础部，吉林 长春 130111）

0 引 言

高斯定理的证明一般有3种方法［1］：

1）利用电场线模型，先从点电荷位于球面内球心处的特例来证明高斯定理，然后再推广到任意的闭合曲面。这种方法相对比较简单，但是从特例推广一般情况不够严谨；

2）利用立体角的概念证明高斯定理，此方法虽严谨，但要求学生具有丰富的空间想象力，难度较大；

3）应用电场强度概念和纯数学推导证明高斯定理，这种方法非常繁杂和抽象，且物理含义不清晰。

1 电场强度通量的概念

借助于电场线的图像，引入电场强度通量的概念［2－4］。通过任意一曲面的电场强度通量如图1所示。

必须指出，对非闭合曲面，面法线的正方向可以取曲面的任一侧，对闭合曲面来说，通常规定自内向外的方向为面积元法线的正方向，所以，在电场线从曲面之内向外穿出处，E通量为正；反之，在电场线从外部穿入曲面处，E通量则为负。

图1

2 高斯定理的证明

2.1 正点电荷在球面中心

在正点电荷q激发的电场中，通过以点电荷为中心、半径为r的球面上的E通量如图2所示。

图2

利用库仑定律，在球面上任一点的电场强度为

利用式（1）可求得通过该闭合球面上的E通量为：

2.2 正点电荷不在球面中心（或任意闭合曲面内）

图3

2.3 多个正点电荷在闭合曲面内

如图4所示，n个电荷在闭合曲面内，根据电场强度叠加原理，空间任一点的电场强度是这n个电荷电场的矢量和

此时，通过该闭合曲面的E通量是

图4

2.4 正点电荷在球面外

如图5所示，如果闭合曲面内没有包围电荷，电荷在闭合曲面外面，那么进入闭合曲面的电场线等于穿出闭合曲面的电场线，所以总的E通量为0，即

综合以上讨论，不难得出结论，在静电场中，通过任一闭合曲面的E通量，等于该曲面内电荷量的代数和除以ε0，一般写为

图5

3 对高斯定理的理解［5－7］

1）在等式左边的积分中，E是曲面S上各处的电场强度。闭合曲面即为高斯面。选取高斯面时，一般是根据对称性，使曲面的法线平行于该处的E，或使法线垂直于该处的E。

3）高斯面内以及面外的电荷位置的改变对高斯面上的通量没影响，但对高斯面上的电场强度是有影响的。

4）在实际应用中，高斯定理常用于电荷具有某种对称分布时所激发的对称的电场分布，即轴对称、球对称、面对称。

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