基于LMIs的连续Markovian跳变系统稳定性分析及控制器设计

王瑾，董泽

（华北电力大学控制科学与计算机学院，河北保定071002）

随着工业科技的不断发展，人们对工程系统性能的要求愈加严格.然而工业环境的不断变化、子系统之间愈加复杂的联结方式、工作范围的不同与零件故障等变化，导致系统结构和参数均发生了跳跃性变化.因此人们不得不采用一种特殊的随机系统——Markovian跳跃系统，准确地描述出系统结构随着时间变化的规律，从而使系统的性能不受上述各种因素的影响.Markovian跳跃系统的构成可以分为2部分：系统的模式与系统的状态［1］.根据系统概率分布，在马尔可夫链的每个部分都可以从一个状态转换到另一个状态，或者保持在当前状态.与不同状态改变相关的概率称为过渡概率，状态的更改称为过渡［2］.

连续Markovian跳跃系统的奠基性研究始于Krasovskii和Lidskii的工作，随着该类系统随机镇定性问题的解决，Markovian跳跃系统的理论研究拉开了帷幕.连续Markovian跳跃系统的数学表达式在文献［3］中给出如下：

这里，系统模式间切换由r（t）决定，且r（t）是在有限集合F＝｛1，…，N｝内取值的马尔科夫过程.其状态转移概率矩阵为

Markovian跳跃系统因为可以描述许多实际的系统而受到广泛关注.据相关文献资料显示，该研究的成果已经在核电厂控制系统、无线伺服控制系统、电力系统、飞行器控制系统、通讯系统和制造系统等工程领域得到应用［4］.

1 LMIs理论基础

1.1 LMIs的基本形式

由文献［3］可知，LMIs（线性矩阵不等式）通常具有如下的形式：

式（1）中，x∈Rm为需要求解的变量，并且矩阵，i＝0.1，…，m为对称的而且已知.由上式可以得到F（x）为正定矩阵，换句话说就是对于非零数u∈Rn，存在不等式uTF（x）u＞0，所以，上式实际上是n个有关x的不等式，因此，F（x）的主子式均需大于零.并且需要指出，式中所得解集是凸的.

由不等式的一般结构形式可以知道，不等式的构成即是不等式的最基本的问题，其他所存在的任何问题都是在这个基本形式上添加与修改的，控制器的设计同样是根据不等式从而得到的参数.

1.2 线性矩阵不等式的方法

［3］中有2个引理，可以将非线性矩阵不等式条件转化为线性矩阵不等式条件，如下所示.1）Schur补引理

其中Q，QT，R＝RT，S为适当维度的矩阵.

2）范数有界矩阵消除法

给定对称矩阵Q，适当维度矩阵D，E和F（t），若

对所有满足FT（t）F（t）≤I的矩阵F（t）成立，当且仅当存在1个标量ε＞0，使得

2 Markovian跳跃系统的稳定性条件及分析

2.1 问题描述

对于马尔科夫系统的一个给定的概率空间（ΩFP），其中Ω是采样空间，F是采样空间的σ‐算子，P是F上的概率测度.由文献［4］可知，在这个空间中，设定连续的马尔科夫跳跃系统对象为

其中x（t）∈Rn是状态向量，r（t）＝i，表示系统在t时刻所在的位置状态，取值在集合L＝（1，2，…，N）中.

马尔科夫跳变系统中，表示系统跳变过程的量：转移概率矩阵为

2.2 稳定性分析

2.2.1 Lyapunov稳定法

马尔科夫跳跃系统稳定性判断采用李雅普诺夫稳定法，由文献［5］可以知道，稳定性的实质问题是考察系统由初始状态扰动所引起的受扰运动是否可以趋近或者返回到原平衡状态.

系统＝f［x，t］，平衡状态是Xe＝0，此时满足f（xe）＝0.如果有一个标量函数V（x），满足V（x）对所有x都有连续一阶偏导数，同时也满足V（x）正定，则

1）如果V（x）沿状态轨迹的方向计算时间导数（x）＝dV（x）／dt是半负定的，则平衡状态是稳定的；

2）如果（x）是负定的，或虽然（x）是半负定的，但是对任何初始状态不恒是零，则平衡状态是渐进稳定的.当‖x‖→∞的时候，V（x）→∞，系统是大范围渐进稳定的；

3）如果（x）是正定的，则平衡状态下不稳定.

V（x）通常选成二次型，判断二次型V（x）＝的正定性可以用Sylvester准则去确定，也就是正定的充要条件是P的所有主子行列式都是正的；如果P的所有主子行列式都是非负，是正半定；若－V（x）是正定，则V（x）就是负定；若－V（x）是正半定，则V（x）就是负半定.

李氏稳定第2法是去设定一个能量方程，去验证马尔科夫过程的能量为逐渐衰减的，就可以找到系统稳定的条件.

2.2.2 稳定性证明

定理1 由文献［6］可知，已知系统（3），若存在正定矩阵P，满足下列LMIs：

那么系统是稳定的.

设定能量方程为

其中矩阵P为正定矩阵，若要求稳定，则要求能量方程是逐渐衰减的［7］，即＜0，

其中£是随机过程的弱微分算子.

将对象代入（t）＝A（trt）x（t），得到

要使式（6）＜0，可知其为二次型形式，可写成矩阵形式

式（7）为系统的LMI形式，由此可知，使£V1＜0，即

由式（8）可知，在此条件下，能量方程是逐渐衰减的，因此，式（8）即为马尔科夫跳变系统的稳定条件.

3 Markovian跳跃系统的控制器设计

Markovian跳跃系统是一个随机性较强的系统，在控制系统的应用中，为了防止发生数据丢失、错发，要设计控制器使系统稳定.

3.1 问题描述

对于给定的概率空间（Ω，F，P），其中Ω是采样空间，F是采样空间的σ－算子，且P是F上的概率测度.在此概率空间中，考虑如下的连续时滞Markovian跳变系统［10］：

其中x（t）∈Rn是状态向量，u（t）∈RP是控制输入，｛rt｝是右连续的且在有限集合L＝｛1，2，…，N｝取值的连续时间.

根据系统的性质，采用如下的模式依赖状态反馈控制器：

其中，Ki，i∈L是待求的模式依赖状态反馈控制增益.

将（10）式代入到马尔科夫跳变系统（9）中，得到如

的闭环系统.

3.2 Markovian跳变系统稳定性控制原理

设计控制器的前提就是保证系统的稳定性，因此，设计原理就是在马尔科夫跳变系统稳定条件下得到控制器.由文献［11－12］可知以下定理及引理.

定理2

Ⅰ.对于系统（9），当u（t）＝0时，称连续时间广义Markov系统是正则的，若

Ⅱ.当u（t）＝0时，称连续时间广义Markov跳变系统是无脉冲的，若∀i∈S，

Ⅲ.当u（t）＝0时，称连续时间广义Markov跳变系统是随机稳定的，若对于任意初始状态x0∈Rn和r0∈S，存在标量M（x0，r0）＞0，使下式成立：

其中E表示数学期望.

引理1 系统（9）是随机稳定的充要条件为：存在矩阵，使得下列LMIs成立

3.3 Markovian跳变系统控制器设计

由系统的稳定条件，根据李雅普诺夫稳定条件，设能量方程为［13］

其中矩阵P为正定矩阵，若要求稳定，则要求能量方程是逐渐衰减的，即

其中是随机过程的弱微分算子.

对能量方程弱微分，得

将系统对象（t）＝A（t，rt）x（t）＋B（t，rt）Kix（t）代入，得到

将上式化为二次型

由二次型可知，要想满足系统稳定的充要条件，要使二次型为小于零的，即式（15）

由式（15）可知，（15）即为系统的稳定条件，由此条件，可以得到Ki（t），得到控制器对象.可知（15）为Lyapunov矩阵形式，以Ai，Bi，Pi，Ki代替各矩阵变量，将其写为

以分别左乘和右乘（16），得到

由此可知，可利用Schur补引理，得到下列矩阵不等式：

其中，＊代表矩阵的对阵部分.令，得到

其中，令Yi＝KiXi，得到

由以上矩阵不等式可知，要想得到控制器表达式，要利用LMIs解得（19）关于Xi，Yi的解，其中，控制器的表达形式为

使用Matlab进行求解，可编写程序得到结果.

3.4 数值算例

经过Matlab仿真得到

因为，可得到K1＝［1.002 1.448］；K2＝［0.832 1 2.089 5］，Result：best value of t：－0.796 547，t的值在负半平面，说明系统控制稳定，所以设计的控制器可以实现对系统的控制.

4 结束语

本文针对连续Markovian跳变系统的稳定性进行了研究，通过Lyapunov定理得到了稳定性条件，在对系统增加了随机环节后，基于Lyapunov定理，利用LMIs方法设计实现了控制器，通过数值算例仿真验证，对于随机性较强的Markovian跳变系统，该控制器可以实现较好的控制稳定效果，可以有效应用于实际系统的控制.

参 考 文 献：

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