基于量子理论的图像中值滤波

谢可夫，许悟生

(湖南师范大学 a.计算机教学部；b.物理与信息科学学院，长沙 410081)

1 概述

1974年 Tukey在进行时间序列分析时提出中值滤波运算，随后该方法被引入到图像处理领域，与传统的线性平滑滤波方法相比较，中值滤波能在有效地滤除脉冲噪声的同时较好地保留图像细节。因此，中值滤波成为实际应用中被广泛使用的非线性图像滤波技术。

传统的中值滤波算法使用固定窗口在图像中移动进行像素排序取中值运算，因此，窗口的大小将直接影响滤波的效果，理论可以证明，当窗口中所含噪声像素点的数目大于和等于窗口元素数目的一半时，传统的中值滤波不能有效地消除噪声。此外，对检验点(移动窗口中心点)无条件的执行中值运算是影响传统中值滤波效果的另一原因，显然如果窗口中心点为非噪声污染的像素点，或者排序中值对应的像素点与窗口中心的距离较远，这种替代都将不可避免地造成对图像细节的损坏。

对传统中值滤波的改进一直受到业界的关注，因此，许多改进的中值滤波算法被提出，如递归中值滤波[1]、各种加权中值滤波[2-3]等。虽然这些改进有效地提高了中值滤波的效果，但对受大噪声强度污染的图像其其降噪能力却仍不理想，事实上解决上述问题的关键在于2个方面：(1)引入自适应滤波机制，使窗口的大小和形状能根据移动位置附近像素的局部特征自动调整；(2)采用有条件的中值运算，即窗口移动时仅对受噪声干扰的像素点进行排序中值运算。而两者之中如何让窗口的大小和形状随图像的局部特征变化是急需解决的关键问题。

近年来借鉴量子理论建立的、在当前计算机上实现的信息处理新算法收到学术界的关注，如量子信号处理、量子神经网络、量子遗传算法[4-7]和基于量子理论的图像处理新算法[8-9]等。本文提出改进的中值滤波算法，沿用上述算法的思想，通过借鉴量子理论引入自适应滤波机制，并采用有条件中值运算对传统的中值滤波算法进行改进。但值得强调的是这里所引入的量子理论的一些基本概念和操作仅考虑其数学意义上的合理性而不受量子系统自身的物理约束。

2 图像的伪量子化

2.1 量子比特

一个量子比特(一个量子位)是一个有2个基态的双态量子系统，若将这2个基态分别记为|0〉和|1〉，则一个量子比特即是由一对特定的标准正交基组成：

其中，a, b是2个复数，分别称之为状态|0＞和|1＞的概率幅，包含4个实参数，它的模方需要满足归一化条件：

在式(1)中，若 a= 1,b = 0或 a=0,b =1，态|ψq〉退化到|0〉或|1〉。在量子信息处理中，通常将基态|0＞和|1＞对应经典比特的 0和 1。当量子位处在一般的|ψq〉= a |0〉 + b |1〉描述的态时， |a|2和 |b|2分别表示对|qψ＞测量时获得基态|0〉和基态|1〉的概率。

2.2 图像的伪量子化表示

设 f( m, n)为一幅数字图像， (m, n)∈ Z2，灰度级归一化处理后， f( m, n)∈ [0,1]表示在位置 (m, n)∈Z2处图像像素的灰度值。然而，从概率统计的观点看，f( m, n)、1 − f( m, n)也可分别表示在位置 (m, n)∈Z2处像素的灰度值为1和0的概率。这样图像 f( m, n)可用量子比特表示为：

其中，|0〉、|1〉表示经典比特“0”和“1”，它是量子系统中的 2个基态，分别对应图像中的黑点(f( m, n) = 0,|f( m, n)〉 =| 0〉)和白点(f( m,n) = 1,|f( m, n)〉=| 1〉)。对非黑、白点)、分别为出现黑点|0〉和白点|1〉的概率幅，显然式(3)的概率幅满足归一化条件式(2)。|f( m, n)〉称为图像 f( m, n)的伪量子化表示。

2.3 量子Hadamard变换

按量子理论[10]将量子 Hadamard门 H作用于式(1)的|qψ〉，可得：

由式(4)可知，利用 Hadamard门 H分别对黑点(|0〉)和白点(|1〉)进行操作，可得：

由上可知，若对黑、白点经过Hadamard变换后的新态矢H·|0〉和H·|1〉进行测量，则获得|0〉的概率均为0.5。对而非黑、白点获得|0〉的概率为：

3 改进的中值滤波算法

3.1 自适应窗口调整

文献[11]提出一种均值滤波改进方法，这种改进方法在计算窗口移动位置的均值时，首先将窗口中灰度接近最大或最小值的像素点丢弃，然后计算余下点的均值，因为窗口中的最大和最小值很可能就是噪声污染造成的，所以本文在自适应窗口调整中将采用这一思想。

下面以尺度3×3的窗口为例，说明所提出的自适应窗口调整原理。考虑图像中以(m, n)处像素为中心的一个尺度为3×3窗口，为书写简便，将(m, n)处像素的灰度值简记为 fm,n，则该窗口的伪量子化表示形式为：

对上式窗口中的每一元素进行 Hadamard变换操作：

对上述窗口中的每一元素进行测量，取其获得|0〉的概率 P|0〉( H · W3×3(| fm,n〉)为：

由式(6)可知，gm,n= 0.5(1 + 2。

对式(9)的窗口中的每一元素以0.5为阈值进行二值化处理，并将所有取值为1的点构造一个新的窗口，记为Wmed3。显然窗口不一定是正方型，其大小和形状将根据以(m, n)中心的3×3的窗口内像素的局部特征调整。这个Wmed3将为图像位置(m, n)处的排序取中值窗口。对其它的窗口尺度，如 5×5、7×7，也可做相同处理。一般情况下尺度为3×3能更好地保留图像的细节，因为取中值时被替代的像素与替代像素的距离将在一个单位内。

3.2 条件中值运算

为克服传统的中值滤波算法对检验点无条件执行中值运算导致的图像模糊，针对椒盐噪声的污染，改进的自适应中值滤波运算的算法描述如下：

If Wmed3=[0]//对 3×3无噪声污染的黑、白区域 Wmed3//的所有元素为0

其中，[0]表示 3×3的全“0”正方形窗口表示，W3×3(m , n)是以(m, n)为中心的 3×3全“1”正方形窗口，Median表示求中值运算。

上述的改进中值滤波表示，在滤波过程中计算(m, n)处的输出时，首先观察(m, n)处像素点的灰度f( m, n)，若 f( m, n)是 W3×3(m, n)中的最大或最小值，表明该像素点可能受到噪声污染，则在Wmed3中完成排序取中值运算，否之直接取 f( m, n)为(m, n)的滤波输出。由于排序窗口Wmed3是一个动态窗口，因此所提出的改进中值滤波是一种自适应中值滤波。

椒盐噪声是噪声幅度为0和1的脉冲噪声，是脉冲噪声的特例。对一般的脉冲噪声，确定自适应的排序窗口Wmed3时，可在Hadamard变换前对 W3×3(m, n)窗口中每一像素的灰度做如下预处理：

其中，max和min分别为 W3×3(m, n)中像素的最大灰度值和最小灰度值，上述预处理后将根据 f′(m, n)构造 W3×3(| fm′,n〉)，然后进行 Hadamard变换确定(m, n)处的Wmed3。

4 仿真实例

图1～图 4为所提出的改进中值滤波的仿真实验结果。其中，图 1为加入不同强度的椒盐噪声后的Lena图片，图片分辨率为512×512像素；图2和图3分别为传统的中值滤波和递归中值滤波对图1的相应输出结果；图4为所提出的改进中值滤波输出结果。

图1 不同噪声强度的图像

图2 传统中值滤波算法的滤波结果

图3 递归中值滤波算法的滤波结果

图4 本文算法的滤波结果

由仿真结果可见，由于本文提出的改进中值滤波算法采用有条件的中值运算，因此能更好地保留图像细节，使得输出图像非常清晰。同时通过图 2～图 4的比较表明，自适应滤波机制的引入使得改进的中值滤波的去噪能力更强，尤其是对大噪声强度污染的图像(如噪声强度 0.5的结果比较)。此外，本文提出的改进中值滤波算法对噪声的强度不敏感，即噪声污染的强度对输出结果影响甚微。

5 结束语

本文分析了影响传统中值滤波算法性能的2个重要原因，并从这2个方面对传统的中值滤波算法进行改进。仿真结果表明，与传统的中值滤波和递归中值滤波相比，本文提出的改进中值滤波算法在更好地保留图像细节的同时有更强的噪声滤除能力。由此可见，借鉴量子理论的数学体系和处理机制来改进传统的算法以提高其性能是一个值得研究的课题，后续研究将集中于基于量子理论的图像金字塔分解，通过借鉴量子叠加态建立像素之间的关联来实现图像分解，并将其应用于数字图像的融合。

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