具有弹性静子的碰摩转子轴承系统非线性动力特性研究

陶海亮，潘 波，高 庆，谭春青，陈海生

(1.中国科学院 工程热物理研究所，北京 100190;2.中国科学院 研究生院，北京 100080)

转子－轴承系统是构成旋转机械的重要组成部分，随着对旋转机械高转速、高效率的要求，转子故障时常发生。转静碰摩作为一种较为常见的转子故障，对系统的稳定性和安全性有着重要的影响。

碰摩故障通常是由基础松动、油膜涡动、质量偏心、裂纹等引起的二次故障。目前，研究碰摩故障所采用的模型中，大多数是基于静子固定的形式［1－7］，很少考虑碰摩后静子振动对系统的影响。Cai等［1］分析了滑动轴承支承下碰摩转子的动力特性，采用轴心轨迹、谱分析、Poincare截面映射及Lyapunov指数等方法对系统动力特征进行判别。Sun等［2］分析了简单支承下Jeffcott转子系统局部碰摩故障的混沌及分岔响应特征。Tejas等［3－4］应用有限元方法分析了裂纹转子局部碰摩的振动特性，并分别采用 FFT频谱及 Hilbert-Huang时频谱的方法对裂纹、碰摩故障加以识别。Han等［5］研究了双盘转子在不同转速、碰摩刚度及摩擦系数下，碰摩转子的横向振动特性，并与实验进行对比。曲秀秀等［7］建立了不平衡－碰摩－基础松动耦合故障的转子模型，采用盲源分离方法进行耦合故障信号分离研究。张娅等［6］分析了轴向、径向碰摩转子的非线性动力特性，相对于径向碰摩故障，轴向碰摩产生的非线性特征不明显。

在实际转静碰摩过程中，两者之间存在能量传递，转子与静子应看成一个耦合的系统。陈果［8］和王正浩等［9］建立了含碰摩故障弹性机匣－滚动轴承转子系统动力学模型，分析了转子偏心、系统阻尼、间隙等参数对系统动力响应的影响。Popprath等［10］建立了粘弹性碰摩Jeffcott转子动力学模型，通过分析接触角的动力特性来判断碰摩的特征。

在上述考虑弹性静子碰摩［8－10］的研究中，尚未对滑动轴承转子结构进行研究。因此，本文建立了考虑非线性油膜力的具有弹性静子的碰摩转子系统，采用数值积分方法模拟系统的振动响应，对比在不同静子质量、碰摩刚度下系统的响应特征，分析结果为滑动轴承转子系统的设计提供一定的理论参考。

1 碰摩转子系统动力学模型

本文研究的碰摩转子－轴承模型为Jeffcott转子模型，如图1所示，采用滑动轴承支承，两轴承中间为一转动轮盘，轮盘与轴承之间为无质量弹性轴。

滑动轴承内径为D，长度为 L，轮盘等效质量为m1，轴承处等效质量为m2，静子等效质量为m3，轮盘处阻尼为c1，轴承处阻尼为c2，静子处阻尼为c3，转轴刚度为 k1，静子刚度为 k3，碰摩刚度为 kr。Fx、Fy为非线性油膜力分别在x、y方向上的分量。

图1 碰摩转子系统动力学模型Fig.1 Dynamic model of rotor system with rub-impact fault

1.1 非线性油膜力

本文采用Capone油膜力模型［11－12］，该模型在工程应用及非线性理论研究中具有较高的精度和较好的收敛性。其无量纲非线性油膜力分量表达式为:

式中:

因此，非线性油膜力可表示为Fx=sWfx，Fy=sWfy，s为 Sommerfeld修正系数，W为转子重力的一半。

1.2 碰摩力模型

图2为弹性静子碰摩力模型。静子中心的初始位置为O点，经过第一次碰摩后，静子中心移动到Os处，对应坐标值为xs、ys。此时，转子中心为Or，对应坐标值 为 xr、yr，则 转 静 之 间 相 对 位 移 为 r=静止时转静间隙为δ，当r＜δ时，不发生碰摩，即Pn=Pt=0;当r≥δ时，发生碰摩。设转子以逆时针方向旋转，假定静子径向变形为线性，转静碰摩符合库伦摩擦定律下，碰撞力Pn和摩擦力Pt分别为:

图2 碰摩力模型Fig.2 Model of rubbing force

其中:kr为碰摩刚度、f为摩擦系数，将碰摩力在x方向和y方向进行分解，可得:

1.3 碰摩转子系统动力学方程

转子旋转角速度为ω、轴承间隙为c时，系统无量纲动力学方程为:

式中:Xi、Yi为无量纲坐标，Px、Py为碰摩力，Fx、Fy为油膜力，τ为无量纲时间，g为重力加速度。

2 数值计算结果与分析

对于上述动力学模型，给定如表1所示系统参数，采用4阶Runge－Kutta算法进行数值求解。为获得系统稳态动力响应，进行了500周期的计算，舍弃了前400周期后求得。

表1 转子系统参数Tab.1 Parameters of rotor system

2.1 无碰摩故障系统动力响应

图3为无碰摩故障时，轮盘随转速增大的响应分岔图，响应状态如表2所示。从图3和表2看出，随着转速的变化，系统响应存在周期运动、拟周期运动及混沌运动等复杂运动形式。转速较低时，系统运行较为稳定，作同频周期1运动。随着转速的提高，在非线性油膜力和不平衡力的共同作用下，系统在440 rad/s发生失稳，出现倍周期分岔。系统经倍周期分岔进入混沌运动状态，系统在960 rad/s时，经倒分岔离开混沌状态，并在1 240 rad/s进入拟周期状态直至1 600 rad/s。

图4为系统在几个典型转速下的运动状态。图4(a)和图4(b)为转速ω=595 rad/s时轮盘的轴心轨迹和Poincare截面映射，可以看出其轴心轨迹表现为较为混乱的轨迹线，Poincare截面表现为自相似结构，为典型的混沌吸引子。图4(c)和图4(d)为ω=1 000 rad/s时转子的轴心轨迹和Poincare截面映射，该转速下Poincare截面表现为4个离散的单点，说明此时系统作周期4的分频运动。图4(e)和图4(f)为ω=1 400 rad/s时转子的轴心轨迹和Poincare截面映射，其轴心轨迹表现为具有重复性的图形，且Poincare截面呈现出封闭的圆环，说明系统处于拟周期运动状态。

图3 无碰摩时轮盘X方向分岔图Fig.3 Bifurcation diagram of disk in X direction without rub-fault

表2 系统响应情况Tab.2 Steady response of rotor system

2.2 静子质量对碰摩系统动力响应的影响

碰摩发生时，转静之间存在能量传递，应将其看成一个耦合的系统，前期的研究一般把两者孤立开，只考虑碰摩时，静子对转子的影响，很少涉及两者之间的影响。因此，本节对不同静子质量对碰摩系统动力响应的影响进行分析。本文考察了转轴刚度k1=8.51×106N/m，碰摩刚度 kr=3k1，静子与转子质量比 η=m3/m1，分别为η=1、5和10情况下下系统的动力响应特征，见图5～7。

图5(a)和图5(b)分别为η=1时静子与转子在X方向上的响应，由图5(a)可以看出ω≤560 rad/s时，静子位移为0，即未发生碰摩，系统主要受非线性油膜力和不平衡力作用，此时转子响应与图3一致;当ω≥560 rad/s，静子位移出现了较大的波动，发生了转静碰摩，在碰摩力参与作用下，转子动力特性发生了改变，混沌区由原来的580～960 rad/s延长至580 ～1080 rad/s，并随着转速的进一步提高，碰摩力对系统的影响增大，出现了拟周期、周期2、周期1等响应特征。

对比图5、6、7可以看出，随着η的增大，即静子质量的增大，转子的动力特性产生了较为明显的变化。随着静子质量的增大，油膜力的作用逐渐减弱，碰摩力的作用逐渐增强，在较强的碰摩力作用下，系统表现出大范围的周期1运动。

图4 不同转速下转子的响应Fig.4 Response of rotor at different speed

图5 η=1时，碰摩系统X方向分岔图Fig.5 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，η =1

图6 η=5时，碰摩系统X方向分岔图Fig.6 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，η =5

2.3 碰摩刚度对系统动力响应的影响

图8、9、10为静转子质量比η=1、转轴刚度 k1=8.51 ×106N/m 下，碰摩刚度 kr分别为 k1、3 k1及5 k1时系统随转速增大的响应分岔图。对比图8(a)、图9(a)及图10(a)，碰摩刚度越大引起的静子振动范围越大。由图8看出，在ω≥560 rad/s转速下，虽然发生了碰摩并激起了静子振动，但由于碰摩刚度较小，产生的碰摩力较小，因此对转子系统影响较小，其响应分岔几乎与无碰摩故障时一致。随着碰摩刚度的增大，转子动力响应发生较大变化:无碰摩时的混沌区域580～960 rad/s在碰摩力影响下扩大至580～1 080 rad/s;在高转速区1 400～1 600 rad/s，当 kr=3k1时，转子表现为周期1运动，当kr=5k1时，转子主要表现为拟周期，存在小范围的周期5运动，见图11。

图7 η=10时，碰摩系统X方向分岔图Fig.7 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，η =10

图8 kr=k1时，碰摩系统X方向分岔图Fig.8 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，kr=k1

图9 kr=3k1时，碰摩系统X方向分岔图Fig.9 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，kr=3k1

图10 kr=5k1时，碰摩系统X方向分岔图Fig.10 Bifurcation diagram in X direction with rub － impact，kr=5k1

图11 kr=5k1时，不同转速下转子的响应Fig.11 Response of rotor at different speed，kr=5k1

3 结论

(1)建立了具有弹性定子滑动轴承－转子系统碰摩故障动力学模型，对比研究了碰摩与不碰摩条件下系统的响应特征，系统存在多种非线性动力学行为，如倍周期分岔、拟周期运动、混沌运动等。

(2)在前述参数组合下，碰摩发生时，静子质量越大，转静耦合作用明显，碰摩力增大，系统易在高转速区出现单周期运动。在实际碰摩发生时，应考虑静子质量对系统的影响因素。

(3)碰摩刚度较小时，由于产生的碰摩力较小，即使发生碰摩，对系统的动力响应影响很小;碰摩刚度越大，产生的碰摩力越大，对系统的动力响应影响也越大。

［1］Cai W，Chang J，Chen C K.Chaos and bifurcation of a flexible rub-impact rotor supported by oil film bearings with nonlinear suspension［J］.Mechanism and Machine Theory，2007，42:312－333.

［2］Sun Z C，Xu J X，Zhou T.Analysis on complicated characteristics of a high-speed rotor system with rub-impact［J］.Mechanism and Machine Theory，2002，37:659－672.

［3］Tejas H P，Ashish K D.Vibration response of a cracked rotor in presence of rotor-stator rub［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，317:841－865.

［4］Tejas H P，Ashish K D.Coupled bending-torsional vibration analysis of rotor with rub and crack［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，326:740－752.

［5］Han Q，Zhang Z，Wen B.Periodic montions of a dual-disk rotor system with rub-impact at fixed limiter［J］.Journal of Mechanical Engineering Science，222:1935－1946.

［6］张 娅，王维民，姚剑飞.双盘转子系统轴向－径向碰摩非线性动力学特性分析［J］.振动与冲击，2012，31(12):141－145.ZHANG Ya， WANG Wei-min， YAO Jian-fei.Nonlinear dynamic behavior of a double-disk isotropic rotor system with axial and radial rub-impacts［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(12):141－145.

［7］曲秀秀，陈 果，乔保栋.不平衡－碰摩－松动耦合故障的转子动力学建模与盲分离研究［J］.振动与冲击，2011，30(6):74－77.QU Xiu-xiu，CHEN Guo，QIAO Bao-dong.Signal separation technology for dynamic model of rotor with unbalance rubbing looseness coupled faults［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(6):74－77.

［8］陈 果.转子－滚动轴承－机匣耦合系统的不平衡－碰摩耦合故障非线性动力学响应分析［J］.航空动力学报，2007，22(10):1771－1778.CHEN Guo.Nonlineardynamics response analysis of unbalance-rubbing coupling faults of rotor-ball bearing-stator coupling system［J］.Journal of Aerospace Power，2007，22(10):1771－1778.

［9］王正浩，袁惠群，闻邦椿.弹性机匣－滚动轴承双盘碰摩转子系统动力学特性［J］.振动工程学报，2009，22(2):135－141.WANG Zheng-hao， YUAN Hui-qun， WenBang-chun.Dynamic characteristics of rub-impact of dual-disc rotor system on flexible casing-rolling bearing supports［J］.Journal of Vibration Engineering，2009，22(2):135－141.

［10］Popprath S，Ecker H.Nonlinear dynamics of a rotor contacting an elastically suspended stator［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，308:767－783.

［11］Capone G.Orbital motions of rigid symmetric rotor supported on journal bearings［J］.La Meccanica Italiana，1986，199:37－46.

［12］Capone G.Analytical description of fluid-dynamic force field in cylindrical journal bearing［J］.L＇Energia Elettrica，1991，68(3):105－110.