计算机理论教学对提高学生解决问题能力的探讨

许发见

摘要：关键词：教学改革；离散数学；实践能力；教学模式

中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：1674-4853（2013）03-0104-05

计算机理论教学的内容偏重基础性、理论性知识，不同于许多计算机课程的实用性，学生认为该课程对专业的学习无用，且又难学，影响了积极性。例如离散数学的内容广泛知识点还比较分散，包括多个有一定关联的分支，学生在学习时疲于应付各种概念定义，难以消化理解，更难以自学和提高。

其实之所以被称为计算机专业基础课，是因为离散数学在数据结构与算法分析、操作系统、数据库、网络与分布式计算、计算机图形学、人工智能自动机、人机交互等许许多多的方面都得到了广泛的应用。[1]这更要求学生学好它为后续学习打好基础，所以需要针对离散数学的特性进行分析，然后在教学内容和模式上依据多年的教学经验进行教学改革，希望能够使得同学更好得接受和掌握离散数学的思想和学习方法，提高教学效果。

一、离散数学的特点

“离散数学”是计算机相关专业的专业基础课程，课程概念繁多、理论性强、抽象深奥，学生学习兴趣不高、难以入门和巩固，教学效果不很理想。所以在“离散数学”教学中重点应该是帮助学生完成“从理论到实际”的转变，使学生逐步掌握理论过渡到应用的方法过程；培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、归纳构造能力和实践创新能力。在开始的概论里，可以用一首自编的诗来概括离散的特征：

数学当作语文念，定理定义随处见；

传统概念重新建，应用模型很关键。

以下具体分析离散数学的一些特点、难点。

（一）概念和定理多且前后衔接紧密

每章节的内容都是建立在全新的概念之上，然后推理演绎出新的概念和定理等，接着就是这些定义定理的直接应用。经常概念就是定理，或者性质，甚至概念就是运算法则，所以掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，概念也要和定理、性质联系起来理解，再结合各种题型和数学模型来记忆。

（二）方法性强

离散数学要求的抽象思维和构造能力较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象构造能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。离散数学的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。特殊的题型有特殊的对应方法模型，必须专门强化记忆。

（三）入门难，概念的前后关联强

由于是全新的概念或定义，且本身又非常抽象，初学者往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系，初学者不容易进入学习状态。因此一开始必须准确、全面、完整地记住并理解所有的定义和定理。最好和已有的知识结构建立联系，这样才可能更好适应抽象的连绵不断的概念，并为后续循序渐进的学习打下良好的基础。例如，通过与学生已经熟练掌握的中学数学的比较来进一步分析离散数学的特点。其实中学学习的数学归纳法、排列组合就是典型的离散数学问题。然后进一步利用“面积证明勾股定理“的过程和“着色原理证明世界上任取6人必然有3人相互认识或者不认识“两问题进行比较分析，它们共同点都是题目抽象且给出的条件少，通过巧妙借用构造特殊的图形来完成证明；不同点是勾股定理证明是利用计算面积相等来完成，而后者是利用“着色模型“加上“鸽巢原理“再结合图形空间结构关系来完成，总结出的区别是离散数学的问题一般和图形的大小、长短、面积等数值无关，侧重于考察问题关联、变化、约束等内在逻辑关系。

（四）符号、图形多

离散数学的经典内容包括命题逻辑、谓词逻辑、集合、关系、代数系统、图论等方面的基本知识。每章的概念、定理、证明、推导、解题等全部环节都需要用符号、中英文名词术语等来表示，或者借助图形来介绍说明。所以离散数学比其他课程要多花时间来记忆各种字符、符号、图形，弄清楚其内在关系和演绎过程。例如集合、笛卡尔积、关系、关系闭包、等价关系、划分等一系列的概念是一层层叠加起来的，后面的概念都是建立在前面概念基础上的，必须弄清楚其来龙去脉，否则你直接说划分是说不清楚的。当然借助对各种符号、图形的理解也是有利于对概念的记忆。离散数学除了教给学生离散数学知识以外，更重要的是通过严格的训练，逐步实现学生思维方式的数学化、符号化、计算机化。对于符号的掌握是非常重要的，因为全部的问题最后都是可以通过符号输入指挥计算机来解决的。

（五）题型众多且解题方法奇特

学数学就要做题目，学习不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习思维方法和解决问题的能力。数学的题目数量自然是非常多的，但题目的种类却很有限。尤其是在命题证明的过程中，最重要的是要掌握证明的思路和方法，要善于总结和归纳，仔细体会题目类型和解题套路。例如在命题逻辑中判断推理是否正确有真值表法、直接证法、间接证法或反证法等，需要多作练习，才可以较快地领悟其本质，能够看出它所属的类型及关联的知识点，找到对应的模型，就不难选用正确的解决方法。例如前缀码问题对应的就是最优树模型，通过不断积累模型来扩展解题思路。同时在记忆模型的基础上通过相应的思维训练提高思维变通性，进而提高解决问题的能力。

（六）章节内容差异大且解题思路难寻

集合、关系、逻辑、图论和代数系统各章节自成体系，各部分内容差异很大，从概念到定理到解题方法大不相同。特别是离散数学证明题的方法性是很强的，如果知道一道题属于哪个章节，该用什么知识点和方法，那离答案就不远了。因此在平时的学习中，要勤于思考，善于总结，在离散数学学习的过程里对概念的理解是重中之重。当题目很抽象，不能够很明确找到对应概念的时候，一些常规的解题思路也是需要强化给学生的，下面介绍几种方法。

1.尝试法。这是被运用比较广泛的启发法，使用所有你想到的操作手法，尝试着看看能不能得到有用的结论或者边界点、特例等，尽量离答案近一点，通过穷举各种允许或不允许的可能性来寻找那些关键的性质。穷举法也是本办法的一个特例，穷举法不一定就是最笨的办法。

2.结论分析法。结论往往蕴含着丰富的条件，譬如对什么样的解才是满足题意的解的约束。借助结论中蕴含的内容，可以为题目提供更多信息量和缩小思考范围。

3.缩放条件法（如删除、增加、改变条件）。有时候通过调整题目的条件，我们往往迅速能够发现条件和结论之间是如何联系的。通过扭曲问题的内部结构，我们能发现原本结构里面重要的东西。

4.抽象具体法。求解一个抽象的题目先解决一个类似的具体题目，或者由具体到抽象。将问题泛化，并求解这个泛化后的问题。类似的题目也许有类似的结构，类似的性质，类似的解决方案。通过考察或回忆一个类似的题目是如何解决的，也许就能够借用一些重要的点子。

5.对立面法或反证法。实在没有办法了，还可以列出所有可能跟问题有关的概念、定理或性质，来寻找和题目的联系，发现思路，这是一种经常被使用的方法。

通过以上五个方面的特点分析和一些经验对策的介绍，已经可以说明离散数学的教学难点和需要改进加强的环节。在教学中还可以进一步总结突出离散数学，其可以被看作是数学的前传、是符号的语言，与一般的数学学习方法大不相同。

二、教学内容改革和模式变化

离散数学的教学目标重点是为进一步学习其他计算机课程打基础，培养学生计算机模式的思维推理能力，提高学生利用数学知识和模型解决实际问题的能力。所有这些需要优化理论教学，重视实践性教学环节，强调培养学生养成形式化思维和解决问题能力，使得学生在学习其他计算机应用课程时，遇上困难知道如何去理解问题、归纳推理、寻求解决方法。要以教师为主导来组织、引导学生的学习，特别是培养学生的学习兴趣和自主学习能力。所以教学内容应该更丰富、媒体形式更多样、手段更科学、理念更先进，模式更新颖。例如网络教学、多媒体教学、启发式教学、发现式教学、案例教学、游戏式教学等。

要达到上述要求，就需要拓展教学内容和空间，加强与后续专业课程的联系与衔接。多结合实践案例和游戏模型来提高兴趣，多留些趣味、应用型的思考题，“积小错为大错、以游戏换经验”，因为游戏多是有数学模型的，通过思考题来发现问题，积累分析解题的经验，此外还需要突出重点，强调特点。由于补充了大量课外内容，所以在教学课时不够的情况下可以舍弃一些次要内容以保障重点内容的教学质量，并且对简单点的内容安排自学不做重点考核，这样也可以提高自主学习能力。

（一）教学内容的组织和更新

离散数学教学内容比较“散”，而且难。讲课时尽可能结合一些实际问题，特别是与计算机有关的问题，突出重点，强调前后联系和概念关联性。这样既提高了学生的学习兴趣，又使得学生更好地体会离散数学对研究计算机科学的重要性。例如图论和集合论为数据结构和数据表示理论奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的重要方法。在讲解图论中通路与回路概念时，给出它们在研究操作系统是否存在死锁，自动机的初始状态和结束状态是否可达，程序设计语言中一个过程是否递归等方面的应用。数理逻辑是研究推理的学科，在人工智能、数据库理论等的研究中有着重要的应用。激发学生学习的积极性，进一步加强学生理论联系实际的能力。

在组织教学内容时注重离散数学与前后的计算机课程结合。即在课堂讲解时，尽可能多地介绍离散数学与相关课程的衔接，让学生清楚地认识到离散数学不是一门普通的公共数学课。例如，在数理逻辑部分讲解命题联结词时，考虑到学生在先修课数字逻辑中动手设计过逻辑电路图，以此为切入点进行类比讲解。在集合论部分讲解二元关系时，以后续选修课数字图像处理中的二维直方图为例进行讲解。在图论部分讲解最小生成树、最短路径时，讲清该知识点与后续必修课数据结构中相关知识点的关联性。还可以介绍学科前沿的最新动态，直接体会课程的“实用性”，激发科研热情、提高自主学习的兴趣。

教学内容革新方面特别要注重与实际应用或可动手操作的相关实例的结合。包括各种游戏、案例、实际应用等，可以作为介绍概念时的引例或参照物，也可以作为课后趣味题、应用题、拓展题。还可以穿插结合心理学、人生观、价值观、挫折教育等方面的生活励志故事，拓展教学内容和教学思路，开拓学生视野，增强他们理解、推理能力和参与社会实践能力。同时考虑到学生基础、学时限制等，适当降低传统理论教学内容的难度，侧重于基本概念、原理的应用。为保持课程教学体系的完整性，偏难的理论性内容选讲、少讲或简单介绍，适当增加与计算机应用密切相关的实践上机学时，对学生较感兴趣或应用性较强的内容增设课外实践环节，以兴趣小组的形式延续课堂教学内容。（见表1）

（二）教学模式的选择

教学模式是教学活动的基本结构，科学合理地选择教学模式有助于优化教学过程、提高教学质量，常常能起到事半功倍的教学效果。

范例教学模式是指遵循人的认知规律，从个别到一般、从具体到抽象，从范例分析入手，逐步提炼、归纳和总结。例如通过几个有趣的例子分别展示课程的4大模块，即以“理发师悖论”为例引导出集合论模块；以“警察断案”为例引导出数理逻辑模块；以“七桥问题”为例引导出图论模块；以“布尔逻辑电路”为例引导出代数系统模块。但是仅仅请学生根据常识知识给出答案还不够，还要通过这些例子生动地介绍离散数学的实际应用，激发学生学习兴趣，然后才引出主题。并且在后续讲解中保持类似的教学模式，利用上表里列举的各种游戏、案例、实际应用、趣味数学和编程题目来讲述一些知识难点，避免了一般理论性介绍的枯燥，能充分调动学生的学习积极性。

1.启发式模式。以问题解决为中心，设定情境、提出问题，然后组织学生猜想或做出假设性的解释，进而验证并总结规律。例如，以“一笔画”为出发点，启发学生思考其特点，进一步总结出欧拉图的定义和性质；在代数系统部分，以小学的加减乘除法为出发点，启发学生思考这些运算的异同，从而引申出代数系统的一般性基本概念；以“九连环”游戏的重复操作过程来比拟对二叉树的遍历等等。用一个具体可见的模型或者问题来说明抽象复杂的新概念，这样学生易于接受，并且不会因为一下子迷惑而产生抵触情绪。

2.上机实践模式。拓展编程，提高设计实践能力和兴趣。例如编写程序对集合进行定义和操作，求两个集合的交集，或求两个集合的笛卡尔乘积；“八皇后”问题的程序设计，或者用做好的“八皇后”程序来分析其内部数据结构和算法；结合参加数学建模或ACM竞赛，这样同学们就更重视了。

还可以演示某些手机在拍照的同时将GPS信息记录的过程，通过这个过程来介绍数字水印、MD5、GPS和电子证据等计算机相关理论知识。然后利用计算机、数码相机以及相关软件进行模拟实验验证该过程。并且通过实验课让学生动手来制作数码照片的数字水印、计算MD5值，利用数字隐藏软件在数码照片里隐藏数字信息。这一系列实验即结合应用了信息安全技术，又增加了对电子证据证明力的理解。这样的教学实验过程简单易懂又灵活多变，最主要是通过简单的操作却能够马上看见复杂的操作结果，又能够帮助理解抽象的理论知识。这样的的教学手段更能够激发学生的学习热情，进而增强学生解决实际问题的能力。

3.换位教学模式，可以让学生备课、讲课和点评，产生新鲜感和责任感，体会老师工作辛劳。通过换位可以站在对方的角度思考，体验对方的想法，产生互动、共鸣。学生参与备课，在查阅材料的过程中去理解、深化内涵，拓宽外延，体验“再发现”过程；分组备课、制作课件、讲课，鼓励各种新想法及创意，培养学生动手能力和团队协作精神；同学间的补充、点评和考核，让学生在实践中吸取经验教训，更容易发现自己平时易忽视易错的知识点；老师也可以站在学生的角度思考如何讲解让学生更容易接受，最后通过点评和总结起到画龙点睛的作用。另外给敢于表现的学生加分鼓励，因为“十次说教不如一次表扬，十次表扬不如一次成功。”对这种形式的换位，可以加深学生对所学知识的理解，而且可以激发学生的学习兴趣，更能培养和锻炼学生的独立思考能力、语言表达能力，成为学习的主人。营造一种人人参与的氛围，还能活跃课堂气氛、拉近老师和学生的距离，有利于培养学生综合运用知识和解决问题的能力。

构建多维、多层、多方位教学手段，将课堂讲授、专题讨论、上机实习、课外自学等有机结合，鼓励学生真正成为学习的主体。同时，打破一考定胜负的传统考核机制，综合考察学生在各种教学形式中的表现，课程考核采用总成绩=笔试（50%）+平时成绩（20%）+上机实践（20%）+创新能力（10%）的形式，打造多维教学模式和评价体系。

三、总结

计算机科学的理论教学抽象程度高，需要进一步探索课程的教学改革，合理组织教学内容、有效选择教学模式、高效运用教学手段、适当增加实践环节，达到满意的教学效果。以提高学生自主学习的兴趣、培养学生自主学习的能力为突破口，进行教学革新，对学生后续课程的学习具有较强的现实意义。

另外，也要提高对教师的要求，教师不仅要有较深厚的计算机专业理论基础，能把离散数学等基础专业理论课程和其他课程结合，合纵连横，讲深讲透，还要精心准备、收集选择好的教学案例和素材，结合合适的教学方法和教学规律，有针对性选用启发式教学方式。我院计算机专业自实施离散数学教学改革以来，以培养学生实践动手能力和抽象思维推理能力为目标，教学内容的更新和多种教学模式激发了学生的学习热情，增强了学生学习的主动性和解决实际问题的能力。

参考文献：

[1]吴涛，闵笛，关心. 离散数学教学改革探索[J]. 计算机教育，2010（18）：44-47.

（责任编辑：王小丽）