二阶非自治 (q，p)-Laplace方程组解的存在性*

崔德标

(河海大学理学院，江苏南京 211100)

本文讨论二阶非自治(q，p)－Laplace方程组

解的存在性。这里T＞0，1＜q，p＜∞，F:［0，T］×RN×RN→R。当p，q=2时，(1)是二阶哈密顿系统。利用变分的方法，已经获得了一些存在性结果，见文［1－9］。例如，利用变分方法中的极小值原理，文 ［1］得到了一个存在性结果;文 ［2］在非线性边界条件下，利用极小值原理和山路引理获得了两个存在性结果;文 ［3］利用非光滑临界点定理得到了两个存在性结果;当非线性项▽F(t，x)有界时，得到了一个多解性结论，见文［4］。当p=2时，在文 ［5］中，当非线性条件▽F(t，x)在Rabinowitz条件下满足次二次性，得到了一些存在性结果。受文［5］的启发，本文概括一个新的条件:存在0＜μ1＜q，0＜μ2＜p和M＞0满足

在条件 (2)下，可以说明方程组 (1)相应的泛函满足PS条件。本文借助鞍点定理可以得到方程组 (1)的一些存在性定理，然后给予证明，详见第二部分主要结果。

1 预备知识

下面引入一些基本的记号与概念，W1，pT是Sobolev空间

和Wirtinger不等式

其中C1，C2是正的常数。F:［0，T］×RN×RN→ R满足下面的假设:

成立，其中 (x1，x2)∈ RN×RN和 a.e.t∈［0，T］。

则方程组 (1)相应的泛函方程可以表达为

本文假设F=F1+F2，F1，F2满足假设 (A)。

定义1 (次凸性)若

对一些λ，μ≻0和x，y∈RN成立，则泛函G:RN→R被称作(λ，μ)次凸的。

引理1［8］(鞍点定理)设X是一个 Banach空间，φ∈C1(X，R1)，φ满足 (PS)条件，将X直和分解为X=X1⊕X2，dimX1＜∞ .若存在R＞0，使得

2 主要结果

定理1 假设F满足假设 (A)和条件 (2)，存在g∈L1(0，T)使得

对所有的 (x1，v2)∈ RN×RN和 a.e.t∈［0，T］成立。在［0，T］上存在一个子列E且有meas(E)＞0，使得

其中a.e.t∈E，则 (1)在W上有惟一解。

② φ(u1，u2)→－∞ ，当 ‖(u1，u2)‖ → ∞ 在RN×RN。

对所有的 (x1，x2)∈RN×RN和a.e.t∈［0，T］。利用Sobolev不等式和Wirtinger不等式得

则②得证。由鞍点定理易知定理1成立。

定理2 假设F满足假设 (A)，条件 (2)和

假设F(t，·，·)是(β，γ)－次凸的且 γ＞0对a.e.t∈［0，‖T］‖ ，即

对所有的(x1，x2)，(y1，y2)∈RN×RN，则问题 (1)有惟一解。

‖φ′(u1n，u2n)‖×(1+‖(u1n，u2n)‖)→0

当n→∞，则存在一个常数C1使得

其中n∈N。设

则由假设 (A)和条件 (2)得

其中 (x1，x2)∈RN×RN和a.e.t∈［0，T］。又由于

对所有的n∈N，这表明

其中n∈N，C2是常数。根据式 (10)和式 (12)，则

其中n∈N，则

其中n∈N，C3是常数。同理可得

其中n∈N，C4，C5和C6是常数。则

④ φ(u1，u2)→－∞ 当‖u‖→∞ 在RN×RN。事实上，利用和定理1相同的证明方法易知③成立，而④直接由式 (8)可以得到，从而定理2得证。

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