滤除衰减直流分量的改进傅氏算法探讨

高子林，曹龙汉，姜 坤

(1.广东工业大学 自动化学院，广东 广州 510006;2.重庆邮电大学，重庆 400065)

0 引言

电力系统微机保护装置通过获取一次设备的电压、电流及功率等实时信息及时响应运行过程中状态的变化，迅速准确地做出保护反应，消除或降低故障引起的严重后果。当电力系统发生故障时，其暂态信号中除了含有基波分量以外，还含有谐波分量和具有不确定幅值和衰减时间常数的衰减直流分量，造成电流测量误差显著增大，超过5%～10%，使短路保护和过流保护功能的控制精度受到较大影响［1］。

传统的交流采样方法主要是全波傅氏算法和半波傅氏算法。在系统发生故障时，故障暂态过程中系统频率可能会发生偏移，且信息含有谐波分量和衰减直流分量。由于衰减直流分量是典型的非周期分量，其频谱为连续谱，从而与基频分量频谱混淆，在计算信号的基频分量时产生较大的误差［10］。

已有大量文献对傅氏算法进行改进，以消除衰减直流分量的影响。其中基于全波傅氏算法的有:文献 ［2］通过增加两个采样点，计算并消去直流衰减分量值;文献 ［3］仅增加一个采样点，通过两次非递归消去直流衰减分量的影响;文献 ［4］不需要增加采样点且在未知衰减时间常数的情况下就可全完滤除衰减直流分量，但是每基频周期的采样点数必须为4的正整数倍;文献 ［5］通过分析衰减直流分量在傅里叶快速算法结果的变化规律，对计算结果进行修正，从而消除衰减直流分量;文献 ［6］通过傅里叶算法及其改进算法对故障波形进行滤波处理，但是该算法只能消除直流分量和整次谐波分量，没有考虑非整次谐波的影响。基于半波傅氏算法的有:文献 ［7］基于信号中偶次谐波得到衰减直流分量傅氏变换下实虚部的关系，通过建立方程组能滤除衰减直流分量和特定次偶次谐波;文献 ［8］利用半波傅氏算法计算基波实部，用Mann－Morrison算法计算基波虚部。该算法的数据窗为半周波加一个采样点，算法易于实现，适用于继电保护实时动作;文献 ［9］利用窄带滤波算法对低频和高次谐波有良好的抑制作用，将基于窄带通滤波与半波傅里叶算法相结合，其滤波效果明显优于半波傅里叶算法。

本文在前人的基础上，旨在通过提出一种新的滤除衰减直流分量的方法，改进傅里叶变换。通过算例仿真，验证了本方法的准确性。

1 全波傅氏算法的基本原理

在电力系统发生故障时，故障暂态信号包含:基波分量、谐波分量和具有不确定幅值和衰减率的衰减直流分量，故障信号模型表示如式 (1):

式中:an=Ansinφn;bn=Ancosφn;A为衰减直流分量的初始幅值;τ为直流衰减分量的时间常数。

对于n次谐波的傅里叶变换如式 (2)、(3):

式中:T为基频分量的周期。经采样后，连续量变为离散量，积分变为求离散和:

式中:N为一个周期T中的采样数;k为从故障开始时的采样点序号。离散情况下有:

可求得n次谐波的幅值和初相角为

若采样信号中不含衰减直流分量，则求得的幅值和相角都是真实值，以上即为推导过程。但是实际中采样信号存在衰减直流分量，利用全波傅氏算法进行分析计算，则会产生较大的误差，具体分析如式 (9)、(10):

式中:a和b为信号中基波和各次谐波分量通过全波傅氏算法得到的实部分量和虚部分量，即理想值;δa和δb为衰减直流分量通过全波傅氏算法得到的实际值与理想值之间的偏差，即误差值。为了提高全波傅氏算法在信号含衰减直流分量的情况下仍能具有良好的计算精度，就必须对全波傅氏算法进行改进，即消除δa和δb的影响。

2 全波傅氏算法的改进

由上面的推导可以看出，傅氏算法的基础是假定输入信号是周期函数，可以分解为整倍数频率的分量之和，其中包括恒定的直流分量。但是实际电力系统中，输入的非周期分量包含的是衰减直流分量。当截取一个数据窗的宽度，利用衰减直流分量作为输入信号，对其进行频谱分析，得到的是连续的，包含基频分量的频谱。如果进一步做周期延拓，其也可分解为傅氏级数，同样包含有基频、倍频以及直流分量。目前，微机保护中的电气信号检测算法大多也是针对周期信号设计的，它们会因衰减非周期分量的存在而产生相当大的误差。

2.1 衰减直流分量产生的原因与时间常数的求解

2.1.1 衰减直流分量产生的原因

电力系统中衰减直流分量的产生的原因在于，系统中存在电磁惯性的电抗与电容。假设不考虑电容且系统在t=0 s出现短路故障为对称短路，则任意一相的电流瞬时值应该满足微分方程式(11):

这是一个一阶常系数、线性非齐次常微分方程，其解的形式为

2.1.2 时间常数的求解

故障信号的模型为

式中:I0e－t/τ为衰减直流;基波及各次谐波信号，对系统I(t)同步采样，每周期采样点数为N，采样周期即为基波周期，20 ms。将式(13)离散化后可得:

根据三角函数的正交性，则有:

引入N+1这个采样点，则同理可知:

2.2 算法的改进原理

目前针对减小衰减直流分量的方法主要包括两种，一种是研究不受非周期分量影响或影响较小的算法，比如最小二乘法以及小波变换法等;第二种是对算法进行校正。本文利用对交流采样序列值进行修正，以求剔除其中所含的非周期分量，原理如下:

一个工频周波内采样N+1个点，采样序列为i(0)，i(1)，i(2)…i(N － 1)，i(N)…，则下面等式成立:

考虑ia(t)的周期性，所以

所以

这样，消除了衰减直流分量的新的采样值为

2.3 改进算法滤波步骤

滤波步骤简述如下:

Step 1:根据当前数据窗数据利用全傅里叶变换得到an与bn;

Step 2:利用式 (14)计算出时间常数τ;

Step 3:利用式 (15)求出直流分量;

Step 4:根据式 (16)得到滤除直流分量后的an与bn。

3 算例分析与验证

为了验证本算法对衰减直流分量的有效性，设暂态电流信号为

假设时间常数 τ为50 ms，w=100 π，采样频率T=12点/周，则故障后的电流暂态波形如图1所示，对于既不知时间常数τ，又不知衰减直流分量幅值的实际情况，则按照2.3所示的步骤进行计算。

利用式 (15)以及 (16)，滤除直流分量，得到波形如图 (2)。

图1 故障后的电流暂态波形Fig.1 Transient waveforms of fault current

图2 滤除直流分量后的暂态电流波形Fig.2 Transient waveforms of fault current after filtering out the DC component

从图2的仿真结果来看，将其与图1对比，本文算法能很好的过滤掉衰减直流分量，虽也有误差，但是相对很小。误差来源e－t/τ用泰勒式子展开，只取前两项的值。通过提高采样频率T能够减少这种误差，但是相对也会增大时间消耗。

取不同的时间常数τ，然后仿真出不同时间常数下的各周期分量的仿真值，结果如表1。

表1 不同时间常数下的仿真结果Tab.1 Simulation results under different time constants

4 结论

本文提出的对交流采样序列值进行修正的改进傅氏算法，保留了全波傅氏算法的滤波功能，又增加了对衰减直流分量的过滤作用，能有效抑制非周期直流衰减分量的影响。该方法与以往滤除非周期分量的其它方法相比，其特点为不针对某一特定算法，而对所有算法均适用。在微机保护中，采用本方法对采样值进行修正，可显著减小非周期分量对计算的影响，并且实现简单，计算量较小。通过仿真计算证实了本文方法的可行性和有效性。

［1］张小鸣，费雨胜，一种滤除衰减直流分量的电流估计新算法 ［J］.电力系统保护与控制，2010，38(20):90－95.

［2］苏文辉，李钢.一种能滤去衰减直流分量的改进全波傅氏算法 ［J］.电力系统自动化，2002，26(23):42－44.

［3］马磊，王增平，徐岩.微机继电保护中滤除衰减直流分量的算法研究 ［J］.继电器，2005，33(17):11－14.

［4］齐先军，丁明，温阳东.一种完全滤除衰减直流分量的短数据窗改进全波傅氏算法 ［J］.继电器，2005，33(17):14－17.

［5］焦彦军，于江涛.衰减直流分量对傅立叶变换快速算法的影响及其消除办法 ［J］.华北电力大学学报，2006，33(2):37－39.

［6］周美兰，王一磊，王健.改进傅氏算法在输电线路微机保护中的应用研究 ［J］.黑龙江大学自然科学学报，2007，27(6):783－787.

［7］邹智慧，李啸骢，罗晓芬，等.有效滤除偶次谐波的改进半波傅立叶算法 ［J］.电力系统保护与控制，2009，37(20):65－68.

［8］Li Y L，Chen C Y，He J L.A fast algorithm based on half cycle fourier algorithm for protective relaying ［J］.Power system technology，1996，20(1):52－55.

［9］李斌，李永丽，贺家李.一种提取基波分量的高精度快速滤波算法 ［J］.电力系统自动化，2006，30(10):39－43.

［10］高婧，郑建勇，潘震东.电力系统微机保护中改进傅氏算法综合性能研究 ［J］.继电器，2002，30(10):16－20.