平板耦合颤振过程中气动能量转换特性

刘祖军，杨詠昕，葛耀君

(1.华北水利水电学院 土木与交通学院，郑州 450011;2.同济大学 桥梁工程系，上海 200092)

桥梁颤振是由于气动不稳定性引起的一种自激发散振动，该振动现象一旦发生，将导致桥梁结构整体的毁灭性破坏。因此大跨度桥梁结构颤振问题的研究显得非常重要。目前桥梁颤振机理的研究包括桥梁颤振理论和驱动机理、颤振分析方法和桥梁断面气动性能等诸多方面。国内外众多学者针对这些研究内容展开了深入的研究。

Matsumoto用一种Step-by-step方法即分步分析的方法对不同宽高比的矩形断面以及菱形、椭圆形、三角形等断面的气动导数和气动阻尼进行了风洞试验和理论研究［1-3］，并将断面颤振按机理区分为四类:即耦合颤振、高速颤振、低速颤振和限速颤振。

杨咏昕等［4-6］在Matsumoto研究思路的基础上，导出了二维三自由度耦合颤振分析方法，用该方法对平板，桥梁断面和一些气动措施的颤振机理进行了研究。通过分析他指出，理想薄平板的经典耦合扭弯颤振是由扭转主运动位移所产生的气动升力激发起耦合竖向振动，耦合竖向运动的速度产生的耦合气动升力矩又反馈作用到扭转主运动上的这样一条激励-反馈路线是导致系统发散的主线。

Scanlan等［7］最早建立了桥梁颤振的多模态分析方法，并从能量观点对桥梁的颤振稳定性进行了很有价值的研究，给出了在一个振动周期内气流沿桥梁断面每延米输入的总能量和结构耗能的表达式，并阐述了气流输入到结构中的能量不仅与弯扭位移的幅值有关，而且与弯扭位移间的相位差有着密切的关系，但是他在能量部分仅给出了一个理论框架，没给出具体方法。

刘高［8］从结构与气流系统内部能量平衡的观点对系统的颤振进行研究，发展了一种全桥多模态颤振能量分析方法，通过建立系统等效阻尼比与系统能量变化率之间的关系，推演了系统以及各阶模态等效阻尼比的计算方法，并根据不同风速下系统能量变化率来判断系统的颤振稳定性。

本文应用激励-反馈的分步分析方法对耦合颤振方程进行解耦，并将耦合颤振运动方程改造为能量方程形式，通过引入考虑阻尼影响的运动方程形式，建立了结构-气流系统颤振能量机理的研究框架，详细推导了振动系统内部作用力输入到系统振动能量的计算方法，结合平板风洞试验对比分析了颤振前和颤振临界状态下系统主要气动力的能量输入和转换特性，研究了影响气动能量输入的主要因素，从能量转换的角度对平板弯扭耦合颤振进行了分析。

1 耦合颤振能量转换分析框架

1.1 耦合颤振能量方程的建立

在仅考虑自激力作用情况下，具有竖弯和扭转两个自由度的桥梁断面(图1)在空气中的运动方程［9］可以写为:

根据二维耦合颤振分析理论，应用分步分析思路建立了如图2所示的耦合颤振能量分析框架。

考虑到扭转振动中含有竖向振动的频率成分ωh，竖向振动中也含有扭转振动的频率成分ωa，因此假设扭转振动和竖向振动均有两种振动频率成分的参与，故扭转和竖向振动可表示为下式:

图1 二维桥梁节段Fig.1 Two dimensional bridge-girder section

图2 耦合颤振能量分析框架Fig.2 The energy analysis framework of coupled flutter

其中:α0(t)是振动频率为ωa的扭转运动，α1(t)是竖向运动激发的振动频率为ωh的扭转运动;h0(t)是振动频率为ωh的竖向运动，h1(t)是扭转运动激发的振动频率为ωa的竖向运动。

假设扭转主运动α0(t)和竖向主运动h0(t)的方程表达式如下:

根据分步分析思路，将式(3a)代入式(1a)中求解扭转主运动激发的竖向牵连运动h1(t):

同理将竖向主运动式(3b)代入式(1b)求解竖向主运动激发的扭转牵连运动α1(t):

以上公式中的参数如下:

为了从能量角度考虑颤振过程中振动系统内主要气动力对系统能量的贡献将颤振运动控制方程改写为能量运动方程:

将上述的分析得到的a(t)和h(t)的表达式代入式(7)就可以分析颤振过程中气动能量转换机理以及气动能量的输入特性，便于从能量角度对颤振发生机理进行探讨。

1.2 扭转系统内主要气动力向振动系统输入的能量

式中的参数:

式中的参数:

2 平板扭转振动能量分析

2.1 主要气动力的能量输入特性

为尽可能接近理想平板，采用了宽高比为22.5的平板刚体节段模型，外形尺寸见图3，模型基本参数如下:m=11.25 kg/m，Im=0.282 8 kg·m2/m，竖向圆频率 ωh=12.11 rad/s，扭转圆频率 ωα=19.0 rad/s。平板气动导数如图4所示。试验在同济大学土木工程防灾国家重点实验室TJ-1边界层风洞进行，颤振临界风速经测定为16.5 m/s。

应用二维两自由度耦合颤振分析方法对该平板进行了颤振分析，导数采用了理想平板颤振导数如图4所示，得到颤振临界风速16.0m/s，颤振圆频率为15.6rad/s。

图3 平板断面(单位:mm)Fig.3 The model of plate(unit:mm)

图4 平板的气动导数Fig.4 Flutter derivatives of the plate

图5 各项能量的百分比随风速变化关系Fig.5 The percentage of the energy vs the wind speed

图6 A项能量的随时间变化关系(U=16.0 m/s)Fig.6 Aerodynamic energy A vs time(U=16.0 m/s)

图7 C项能量的随时间变化关系(U=16.0 m/s)Fig.7 Aerodynamic energy C vs time(U=16.0 m/s)

图8 C项能量的随时间变化关系(U=11.9 m/s)Fig.8 Aerodynamic energy C vs time(U=11.9 m/s)

另一方面，随着时间的推移，A1项消耗的能量越来越多，因此该项能量对系统的稳定性起重要的作用。

图9 各项能量占总能量的百分比随风速的变化关系Fig.9 The percentage of the energy vs the wind speed

图10 A1项能量随风速的变化关系 (U=16.0 m/s)Fig.10 Aerodynamic energy A1vs time(U=16.0 m/s)

图11 气动刚度输入振动系统能量的随时间变化关系(U=16.0 m/s)Fig.11 The energy input to the vibration system by aerodynamic stiffness vs time(U=16.0 m/s)

3 结论

本文以二维耦合颤振理论为基础，应用激励-反馈的分步分析方法对耦合方程进行解耦，建立了结构-气流系统颤振能量机理的分析框架，通过引入考虑阻尼影响的初始运动方程详细推导了扭转振动和竖向振动系统内部各种作用力输入到振动系统的能量计算方法，结合平板风洞试验分析了颤振发生过程中系统内主要作用力的气动能量输入特性，从能量转换的角度对平板弯扭耦合颤振的机理进行了研究，通过上述的研究对平板弯扭耦合颤振的机理可以从以下几个方面进行阐述:

(2)在平板耦合颤振发生过程中扭转气动阻尼力与扭转振动的速度方向始终是完全的反相位，随着风速的增加，平板的气动导数的绝对数值不断增大，从而使其耗能能力不断增强，成为扭转振动的最为主要的耗能因素。

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［5］杨詠昕，葛耀君，项海帆.平板断面弯扭耦合颤振机理研究［J］.工程力学，2006，23(12):2-8.

YANG Yong-xin，GE Yao-jun，XIANG Hai-fan.Research on the coupled bending-torsional flutter mechanism for thin plate sections［J］.Engineering Mechanics，2006，23(12):2-8.

［6］杨詠昕，葛耀君，项海帆.大跨度桥梁中央开槽颤振控制效果和机理研究［J］.土木工程学报，2006，39(7):74-80.

YANG Yong-xin ，GE Yao-jun，XIANG Hai-fan.Flutter control effect and mechanism of central-slotting for long-span bridges.［J］China Civil Engineering Journal，2006，39，(7):74-80.

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LIU Gao，Flutter analysis of long-span suspension bridges by energy method［J］.China Journal of Highway and Transport，2000，12(3):20-24.

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