论语言研究需要怎样的逻辑工具

王俊龙

（1.《高等学校文科学术文摘》杂志社，上海 200234;2.上海师范大学，上海 200234）

子曰:“工欲善其事，必利其器。”［1］71若要依数理逻辑为工具来分析语言，我们首先要有一个合适的数理逻辑工具。然而，现有数理逻辑工具并不是十分完善的。比如，现有逻辑代数或集合代数是建立在布尔代数基础上的，而布尔代数本身是不完善的。众所周知，1是乘法单位元，0是加法单位元，是就算术运算而言的。而逻辑运算与算术运算是不同的运算系统。布尔代数以1为逻辑乘法单位元，以0为逻辑加法单位元，显然是混淆了逻辑运算与算术运算之间的区别。若是用像布尔代数这样的不完备的逻辑工具分析语言，其结果必定是不能给出令人满意的研究结论。有鉴于此，本文将结合语言中概念的发展过程来探讨什么样的逻辑才是适合于语言的这样一个问题。

一 从波普对黑格尔辩证法三段式的评论谈起

关于逻辑学与黑格尔的辩证法三段式，波普有一个颇为中肯的评论:

像逻辑这样的理论堪称为“基础的”理论，这是表明:因为逻辑是有关各种推论的理论，因而为所有的科学所利用。至于辩证法，我们发现只能合理地运用它;在这个意义上，我们可以说，它不是基础的理论而只是描述的理论。因此，把辩证法当作逻辑学的重要组成部分就与逻辑学对立，这是不适当的;但是把辩证法当作，比如说，进化论，也同样不适当。只有像我们前面批判过的那种不严谨的隐喻说法和模棱两可的说法才可能出现这样的情况:辩证法既是描述某些典型的发展的学说，又是一门像逻辑学这样的基础理论。［2］103-104

波普的观点很明确，黑格尔的辩证法三段式是描述的理论而不是逻辑理论。

二 否定关系的表示:逻辑运算与算术运算的分野

黑格尔辩证法三段式中涉及否定的否定问题。-a是对a的否定，-（-a）是对-a的否定。逻辑上，否定的否定遵循双重否定律:-（-a）=a。逻辑上，同一个变量的自乘遵循幂等律:（-a）（-a）=-a。但是，算术上，（-a）（-a）=a2。可见，逻辑运算与算术运算是两种性质不同的运算。如果不能分清逻辑运算与算术运算的区别，就会把两个负数的乘积看作是表示否定的否定关系的逻辑公式。

恩格斯说:“我们试取任何一个代数数，例如a，如果我们否定它，我们就得到-a（负a）。如果我们否定这一否定，以-a乘-a，那么我们就得到+a2，就是说，得出了原来的正数，但是已经处在更高的阶段，即二次幂的阶段。至于我们可以通过把正a自乘得出a2的办法得到同样的a2，在这里是无关紧要的。因为这种被否定了的否定如此牢固地存在于a2中，使得a2在任何情况下都有两个平方根，即+a和-a。要摆脱被否定了的否定，摆脱平方中所包含的负根，是不可能的，这种情况，在二次方程式中已经具有极其明显的意义。”［3］177

恩格斯用a表示正题，用-a表示反题，这在逻辑上是可以成立的，其中包含一元运算，负号就是一元运算符号。但是，正题和反题的运算应遵循逻辑运算规则，而不适用算术运算规则。对此，波普指出:“即使假定a是正题，-a是它的反题或否定，我们很可以认为否定的否定应是-（-a）;而此a并非高一级的‘合题’，而正是原来的正题本身。换句话说，为什么一定要反题自乘而得到合题呢?比如，为什么不可以正题加反题呢（那样会得出0）?或者为什么不正题乘反题呢（那样会得出-a2，而不是a2）?还有，a2比a或-a‘更高一级’是从什么意义上说的?（肯定不是从数字更大的意义上说，因为如果a=，那么a2=）。此例说明了在应用辩证法的模糊观念时极端武断。”［2］103

波普指出，否定的否定应遵循逻辑规则中的双重否定律:-（-a）=a。这段话中，波普沿着恩格斯用正负数表示正反题的思路，初步论述了由正题和反题得到合题的运算规则:一是指出，若正题（a）与反题（-a）相加，则a+（-a）=0，就会得到合题是0。二是指出，若正题（a）与反题（-a）相乘，则a（-a）=-a2，就会得到合题是-a2。

显然，波普所采用的运算规则是算术运算规则而不是逻辑运算规则。尽管如此，波普先生说对其中一点。若正题（a）与反题（-a）相加，则合题的确是0。因为，对于正题（a）与反题（-a）不仅是算术加法运算得到0的结果:a+（-a）=0，而且逻辑加法（析取运算）也得到同样的0的结果:a+（-a）=0。其中第二点波普先生肯定说错了。正题（a）与反题（-a）在逻辑上是两不相交的，因此，逻辑上二者相乘的结果（交集）不是-a2而是∅（空集）。a（-a）=-a2是算术乘法运算及其结果，a（-a）=∅是逻辑乘法运算（合取运算）及其结果。［4］

如果说恩格斯没有充分意识到算术运算与逻辑运算之间的区别的话，那么，批评恩格斯的波普其本身也同样没有意识到算术运算与逻辑运算之间的区别。但是，必须指出的是，恩格斯用负数表示否定关系，一个主要的原因或许是想说明，正负数是事物的内在矛盾在数学上的反映，而这一点是触及逻辑的数学本质的，但同时也是超前的认知。因为在恩格斯生活的时代还没有产生建立在正负数上的逻辑代数体系。即使在今天，人们对正负数的逻辑意义也还缺乏足够的认知。显然，恩格斯把正负数作为矛盾关系看待与布尔另设补号表示否定关系是两种不同的逻辑见解。但或许（这只是笔者的猜测）恩格斯同时又不可避免地受到布尔的影响。布尔用1表示逻辑乘法单位元，用0表示逻辑加法单位元，给世人的强烈暗示是，逻辑运算在某种程度上也遵循算术运算规则。恩格斯在《反杜林论》中错将算术运算规则视为逻辑运算规则是当时的逻辑代数的现状及其局限性所决定的。需要说明的是，尽管布尔于1847年出版《逻辑的数学分析》（Mathematical Analysis of Logic）一书立刻引起轰动并为他赢得了崇高的荣誉，而恩格斯的《反杜林论》写于1876年5月底至1878年7月初，但笔者尚不清楚恩格斯对布尔代数的熟悉程度，只是假设一个博学的恩格斯应该知道布尔在逻辑代数方面所取得的成就。

三 现有逻辑理论证明黑格尔辩证法三段式难以成立

黑格尔辩证法旨在揭示概念的矛盾展开、发展的过程，为我们提供了揭示矛盾运动的“正、反、合”的方法。首先对“正、反、合”作一点分析。“正、反、合”中其中正与反是一对阴阳关系，与“合”相对者是“分”。不讲“分”，则“合”就没有其对立面。只讲“合”不讲“分”，这是不合阴阳说的，也是违背矛盾论的。正与反是变化的条件，分与合是变化的过程。［5］

显然，正与反是一对矛盾，而合与分是一对矛盾。可见，只讲正反之合不讲正反之分在逻辑上是不完备的。一个逻辑上不完备的理论要成为指导实践的理论是有缺陷的，想以正反合的辩证运动揭示自然的发展规律也是一厢情愿的。

再看正、反之合。若正和反是一对逻辑矛盾，那么，这个“合”就意味着是全集。若以全集作为“下一阶段”的正题，那么，其反题将是空集，因为全集的对立面是空集。可见，这个“下一阶段”刚一开始就将遭遇逻辑上的空集。空集中没有任何实在的内涵，空集意味着不存在或无以为继。因此，辩证法的螺旋式上升发展的图景在逻辑上是难以成立的。［6］

从否定运算的角度看，黑格尔辩证法中的否定是简单的一元否定而没有论及二元否定。而一个完备的逻辑系统总是不可避免地要涉及二元运算及其否定运算，著名的德摩根律（De Morgan Law）就是关于二元否定运算的。由此可见，黑格尔辩证法不具有成为完备的逻辑系统的最基本的条件。

四 “螺旋式上升”的逻辑解读

若黑格尔辩证法三段式在逻辑上是难以成立的，螺旋式上升也就无从谈起。但是，人们的经验感受是人类的认知能力的确是不断提高的，这一经验感受也的确需要给予逻辑上的解释。黑格尔辩证法三段式尽管是一次不成功的努力，但是，并不是没有启发意义的。

实际上，人类认知能力或知识领域的不断扩展的确是存在相对应的逻辑模式的，但在逻辑上的表现不是“螺旋式上升”而是线性的扩展。见图1。

图1 扩展的布尔代数

图1是扩展的布尔代数，其中仍以0为空集。根据皮亚诺公理［7］12，对于任意给定的非负整数n，存在数I，使得n≤I（算术上的大小关系在逻辑上表现为包含关系n⊆I）。

显然，在扩展的布尔代数中全集不是1也不是2或4，而是不小于任意给定的非负整数n的那个I。

从图1中不能发现，若1是正题，则2-1是其反题，二者的合题是2，公式表示为

（1）1+2-1=2

这样就从逻辑上完成了第一阶段。

下一阶段以2为正题，则4-2是其反题，二者的合题为4，公式表示为

（2）2+4-2=4

这样就从逻辑上完成了第二阶段。

以上过程可以不断地扩展下去。其中每一阶段的合题都是相对全集而不是绝对全集。

需要指出的是，若1是正题，4为合题，则反题为4-1，公式表示为

（3）1+4-1=4

实际上，若以任意给定的非负整数n为正题，则存在合题I，反题为I-n，合题是正反题的析取，公式表示为

（4）n+I-n=I

注意:其中n+I-n≠（n+I）-n，因为，在逻辑运算中，（n+I）-n=I-n。

显然，扩展的布尔代数是建立在扩展的（含0的）自然数系统上的。这样，通过扩展的布尔代数，我们就从数理上模拟了人类认知能力或知识领域不断由低级阶段向高级阶段扩展的逻辑演进过程。从中可以看到这不是一个“螺旋式上升”的过程而是线性扩展的过程。依现有逻辑工具我们目前还只能做到这一点，这还是突破布尔代数全集为1的局限性才做到的。至于是否存在“螺旋式上升”的逻辑模式目前还不得而知，至少黑格尔的辩证法三段式并不能真正成为这样一个逻辑模式。然而，扩展的布尔代数已经能够初步满足人们对于概念发展的演进过程建立逻辑模型加以解释的心理需求。

笔者曾经指出，布尔代数是太极代数的子代数。［8］上述扩展的布尔代数仍然还是太极代数的子代数。

五 太极代数:建立在正负数基础上的逻辑代数

如果我们像恩格斯试图做到的那样真正将正负数引入逻辑世界，那么我们就能实现对布尔代数的超越。太极代数是建立在正负数基础上的逻辑代数系统。太极代数将引领我们真正进入广大无边的逻辑世界。鉴于太极代数是一个专业的数理逻辑问题，同时，其哲学基础又有别于西方哲学，因此本文对太极代数的介绍是初步的。

《系辞上》曰:“是故《易》有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。”潘雨廷说:“太极就是种种不同的相反的东西合在一起。”［9］281对于0的性质，潘先生还说:“无中生有，边界的边界为0。”［9］134那么，“种种不同的相反的东西合在一起”其结果正是无（0）。在哲理上，太极就是无;在数理上，太极就是0。

零因为是任何定量的否定，所以不是没有内容的。相反地，零是具有非常确定的内容的。作为一切正数和负数之间的界线，作为能够既不是正又不是负的唯一真正的中性数，零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被它所限定的数都更重要。事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容。［10］219

显然，恩格斯对0“不是没有内容的”的认识与布尔视0为空（空类）的认知是大相径庭的，而太极代数从逻辑上视0为绝对全集则完全符合恩格斯对0“比其他一切数都有更丰富的内容”的论述。

在太极代数中，正反或阴阳是相对的存在，而空和无是绝对的存在。世间一切的存在，对于绝对存在的空和无而言都只是相对的存在物。

空和无不以阴阳的存在为前提的先在性和绝对性，这一性质可以通过太极代数加以证明。在以空、无为元素的二元集合{∅，0}上定义布尔加法（析取运算）、布尔乘法（合取运算）和补运算得到的是太极代数。［11］在没有阴阳参与的绝对情形下，空和无自成一个完备的二元逻辑体系。而在以阴、阳为元素的二元集合{1，-1}上（其中-1是非1的意思，下同）只能实施补运算，只能在阴阳之间建立非此即彼（或相互否定）的关系，却不能建立完备的二元逻辑体系。这就证明阴阳矛盾在逻辑上不能成为一个统一体。因此，这就证明了，空无是独立于阴阳的绝对存在。同时也证明，阴阳矛盾是不能脱离空无矛盾而独立存在的。

在集合{∅，0}中引入阴（-1）阳（1）二元素，得到集合{∅，0，1，-1}，在其上定义布尔加法（析取运算）、布尔乘法（合取运算）和补运算得到的还是太极代数——一个完备的四元逻辑体系。前文已经指出，1与-1的交集（合取）为∅（空），1与-1的并集（析取）为0（无）。哲学上的说法是，0（无）表示1（阳）与-1（阴）的统一，∅（空）表示1（阳）与-1（阴）的对立。这也就证明，阴阳矛盾的存在是以空无矛盾的存在为先决条件的。阴阳只有与空和无相结合才能成为一个统一的逻辑整体。

显然，鉴于二元集合{∅，0}、四元集合{∅，0，1，-1}在逻辑上的完备性，可以证明三元集合{1，0，-1}在逻辑上是不完备的。但是，由于三元集合{1，0，-1}克服了阴阳二元集合{1，-1}的非此即彼的斗争性，使阴阳（一分为二）实现了中和与统一（合二为一），从而“以对立的统一来补充对立的斗争”，其中包含一种“执两用中”的方法，于是得到有些学者的推崇，并被命名为“一分为三”论。［12］5但是，正如黑格尔“辩证法的三段式:正、反、合”在逻辑上是不完备的，“一分为三”论在逻辑上同样也是不完备的。

需说明的是，建立在{0，1}基础上的布尔代数（其补运算须规定=1=0）是太极代数的子代数，太极代数中的逻辑变量是逻辑向量。凡是布尔代数能解决的逻辑问题太极代数也都能解决。［4］布尔代数是经典的、实用的逻辑代数，适合于西方的有无矛盾观。太极代数是根据太极阴阳思想新发现的一种逻辑代数，是关于空、无、阴、阳的四元数理逻辑。

由此可见，与布尔代数偏于数理不同，太极代数是富有哲理的逻辑代数系统。在太极阴阳思想中，有和无并不是矛盾关系，有和空也不是矛盾关系。有或存在是分阴分阳的，无是包含空的。空无矛盾是先天的，阴阳是后天的。

上述已经证明，在没有阴阳参与的绝对情形下，空和无自成一完备的逻辑体系。而且，不难发现，空和无的绝对世界是一个真正自相矛盾的世界。因为，一方面空和无是相反的，二者构成一对逻辑矛盾;另一方面，空集是任何集合的子集，空或空集必然是无或绝对全集的子集。就是说，无中包含自身的对立面——空。这就从逻辑上——同时也是在绝对的意义上——证明了在最为平凡的、没有任何实在内容的空无之乡里也包含自相矛盾。这就注定了任何事物从一开始就有走向其对立面的可能性乃至必然性。黑格尔说:“人具有两种特性:有生也有死。但对这事的真正看法应该是，生命本身即具有死亡的种子。凡有限之物都是自相矛盾的，并且由于自身矛盾而自己扬弃自己。”［13］177太极代数证明，对于空和无这样绝对的无限之物也同样是自相矛盾的，而这一点单靠哲学思辨是难以证明的。这就说明，逻辑证明的力量强于哲学的雄辩。

六 结语

哲学家（比如，黑格尔）不可能为语言学提供适合的逻辑工具，甚至也不一定能从数理逻辑学家（比如，布尔）那里现成地拿来，而必须靠语言学家结合语言实际发现语言的内在结构并寻求更为适用的逻辑工具。人类的语言系统是一个无所不包的现象世界，因此，成为语言学适用的逻辑工具需具备以下三个条件:一是普适性，二是表意性，三是可计算性。

太极代数正是我们要寻找的最适合分析语言的逻辑代数工具，笔者已有专文初步探讨了太极代数作为逻辑工具在语言研究中的普遍适用性。［6］第一，太极代数的全集（0）是绝对全集，它是无所不包的最大的论域。只有这样的一个巨大无比的无限论域才能包容语言中的大千世界。第二，太极代数中包含所有的逻辑矛盾。没有太极代数不能表现的逻辑矛盾。第三，太极代数中的逻辑变量是无可穷尽的，语言中的任意一个意义都能成为太极代数中的逻辑变量。第四，太极代数是数理与哲理高度统一的逻辑代数系统。其本身就是人类语言和认知高度发展的必然产物。

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［4］王俊龙.论太极代数及其辩证内涵［J］.湖南师范大学社会科学学报，2009（3）:43-47.

［5］王俊龙.整全性:逻辑新论——以中西思想交叉结合的三条思路为线索［J］.河南大学学报，2011（1）:79-88.

［6］王俊龙.超越约定俗成:语言中的数理逻辑问题新探［J］.山西大学学报，2013（2）:63-70.

［7］汪芳庭.数学基础［M］.北京:科学出版社，2001.

［8］王俊龙.人体形态逻辑:生物逻辑学研究［J］.湖南师范大学自然科学学报，2012（2）:76-81.

［9］潘雨廷先生谈话录［M］.张文江，记述.上海:复旦大学出版社，2012.

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