量测噪声存在时的自抗扰控制分析

黄朝东，王劲松

(北京航天长征飞行器研究所，北京 100076)

0 引言

自抗扰控制(ADRC)是由韩京清提出来的一种控制方法［1］，迄今为止，已经进行了大量的研究工作［2-5］，其核心是扩张状态观测器(ESO)。然而，以往的文献在设计控制器时很少考虑噪声的影响，而系统的输出往往含有量测噪声，如GPS的量测误差和陀螺漂移等。文献［1］讨论了系统输出被噪声污染时的扩张状态观测器，但是没有定量研究，更没有分析闭环系统的稳定性。文献［6-7］定量地讨论了高增益观测器增益与噪声幅值对系统估计精度和控制精度的影响，说明了高增益会放大噪声的影响。

由于扩张状态观测器原理与高增益观测器相似，于是以下问题亟待解决:自抗扰控制在系统输出含有噪声的情况下能否正常工作?量测噪声如何影响闭环系统的性能?设计方法能否最大程度地减少噪声的影响?本文分析了存在量测噪声时自抗扰控制器的工作能力，并定量给出在常值噪声、低频噪声和高频噪声条件下扩张状态观测器的估计精度，为噪声存在时自抗扰控制的研究打下了基础。

1 问题描述

考虑单输入单输出状态方程

式中:x=［x1x2…xn］T为系统状态变量;u为控制输入;y为量测输出;f(x，t)为非线性时变函数且可能包含未知动态和外部干扰;b是未知参数;v(t)是量测噪声;(A，B，C)满足如下标准型。

注:单输入单输出非线性系统在一定条件下可以通过反馈线性化变成标准型(1)和内动态两部分［8］，而大多数文献只能处理稳定的零动态系统(最小相位系统)。本文主要讨论噪声的影响，因此只考虑系统(1)，而忽略稳定的零动态部分。

文献［9-10］详细讨论了在没有测量噪声的情况下(即v(t)=0)ADRC的稳定性，设计控制器为

式中:z=［z1z2…zn］T;K为给定控制参数，则得到以下稳定性定理。

从式(4)可以看出，通过设置足够小的参数ε，ADRC能很好地估计出不确定性动态并进行补偿，使得系统达到预定的跟踪精度。并且ε越小，系统的跟踪精度越高。然而，当量测输出被噪声污染时(即v(t)≠0)，ε是否能任意小，系统的精度又如何，下文将继续分析。

文献［6］定量讨论了系统含有量测噪声的高增益观测器时的跟踪精度。该文献设计如下高增益观测器(并非扩张状态观测器)估计系统状态

(5)的估计误差满足

其中，c1、c2是常数。

从式(6)可以看出，观测器的估计误差由增益参数ε和量测噪声幅值μ共同决定。在n＞1的情况下，如果ε取得太小，则会放大噪声对观测器估计误差的影响。因此产生如下问题:与高增益观测器原理相类似的扩张状态观测器的估计误差由哪些因素决定?自抗扰控制器的估计精度是否与式(6)相同?

2 主要结果

现在通过考察ESO(2)的Laplace变换来分析ADRC工作原理以及噪声对系统的影响，将式(2)写成传递函数的形式得到

为简单记，u既代表时域的u(t)又代表频域的u(s)，zi既代表时域的zi(t)又代表频域的zi(s)。由于主要讨论量测噪声对系统的影响，这里不考虑Laplace变换的初值，以免使方程形式变得过于复杂。由y=x1+v(t)可以将式(7)改为

设F(x，s)是非线性函数f(x，t)的Laplace变换，则方程(1)可得到如下传递函数的形式

为研究状态观测器估计误差xi-zi，i=1，2…，n，联合式(8)、式(9)可得到误差方程传递函数

由式(10)得到关系式

联合式(11)以及式(8)的最后一个方程szn+1=βn+1·(x1-z1)+βn+1v，解得:x1-z1={s［F(x，s)+(b-b0)u］-

β1snv+…-βnsv-βn+1v}/(sn+1+β1sn+…+βns+βn+1)。

最后得到

再由式(10)递推得到当1≤i≤n时

然而，当系统存在量测噪声的时候，由式(12)与式(13)可以看出，噪声对观测器误差确实存在影响，而误差精度由以下两式决定

定义系统扩张状态xn+1=f(x，t)+(b-b0)u，则式(14)与式(15)可以统一写成

其中，j=1，2，…，n+1。通过式(16)可推断出各类噪声对误差精度的影响，得到如下结论。

结论3 高频正弦噪声对高阶状态误差xj-zj的影响要大于对低阶状态误差xi-zi(i＜j)的影响，且误差大小随着阶次的升高而增大。在这种情况下，可以设计低通滤波器减少噪声对系统的影响。

注:由于控制精度由估计精度决定，故只分析估计精度，而并没有直接分析控制精度。

3 仿真实例

考虑下列二阶系统

式中:k1=1;k2=2;A=2。于是扩张状态观测器ESO可以写成

首先考虑常值噪声的影响，设v(t)≡0.05，得到仿真结果如图1所示。

图1 常值噪声下的系统误差Fig.1 System error with constant noise

从图1可以看出，常值噪声主要对观测器误差稳态值x1-z1产生影响，对其他误差稳态值几乎没有影响，因此系统的跟踪误差主要由误差x1-z1决定，从而验证了结论1。

现在考虑低频正弦噪声对系统的影响，设v(t)=0.05sin(0.1t)，得到仿真结果如图2所示。

图2 低频噪声下的系统误差Fig.2 System error with low frequency noise

从图2可以看出，低频噪声对观测器误差x1-z1影响最大，对误差x2-z2次之，对误差状态x3-z3影响最小，因此系统的跟踪误差主要由x1-z1决定，从而验证了结论2。

现在考虑高频正弦噪声对系统的影响，设v(t)=0.05sin(50t)，得到仿真结果如图3所示。

图3 高频噪声下的系统误差Fig.3 System error with high frequency noise

考虑在使用ESO之前对输出信号y进行滤波处理，即

其中，ωn=20。于是扩张状态观测器方程改为

仿真结果如图4所示。

图4 滤波后高频噪声下的系统误差Fig.4 System error with high frequency noise after filtering

由图3与图4可知，高频正弦噪声情况下，估计误差xj-zj(j=1，2，3)随着阶次的升高而增加。设计低通滤波器可以有效地减少噪声对系统的影响，从而验证了结论3。

4 结论

本文讨论了含有量测噪声条件下自抗扰控制器ADRC对付非线性不确定性动态的能力，分析了在常值噪声、低频噪声以及高频噪声条件下ADRC的估计精度，并通过仿真实例进行了验证。ADRC尽管在很多领域有了大量的应用，然而量测噪声的存在不可避免。如何与各种滤波方法相结合，如何分析与处理随机噪声等大量问题都值得继续研究。

［1］韩京清.自抗扰控制技术［M］.北京:国防工业出版社，1998.

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