软分离性的进一步研究

张雄伟

陕西榆林学院 数学与应用系，陕西 榆林 719000

现实世界是复杂以至于人们不能及时、直接地理解，于是人们创造了实际的“模型”，对现实世界的某些方面进行简化。于是在1999年，Molodtsov D在文献[1]介绍了软集的概念，开始发展一种新的方法作为研究不确定性模型的理论。最近，Shabir和Naz在文献[2]中提出了软开集、软闭集、软闭包、软内点、点的软邻域和软分离公理，并介绍了它们的基本性质，对软拓扑空间上软Ti(i=1,2,3,4)，软正规空间和软正则空间作了详细阐述。在文献[3]，Min W K指出了文献[2]中的注4是错误的，并且给出了具体的例子阐述这一问题，基于文献[2-3]，本文提出了软Urysohn空间和软T5空间的概念，给文献[2]中的注4提供一个正确的例子，研究了诸软分离公理之间的关系。

1 预备知识

下面给出一些关于软集的有关知识。

定义1.1[1]X上的一个软集是一个偶对（这里E是一个非空参数集），且M:E→2X是一个映射，X上的软集的全体记为：(2X)E。

定义1.2[2]每一个 A∈2X，定义 (͂,E)∈(2X)E如下(i)=A (∀e∈ E)；把和͂认为是一样的  (∀x∈X)。每一个 (M,E)∈(2X)E,定 义 (M′,E)∈(2X)E如 下 ：M′(e)=XM(e) (∀e∈ E) ；有 时 使 用 (M,E)′（resp.͂）代 替 (M′,E)（resp.(͂,E)）。

定义1.3[2]设 X是一个集合，T⊆(2X)E。(X,T,E)称为X的一个软拓扑空间，若T对任意并运算和有限非空交元算关闭，T称为X的一个软拓扑，T中的成员称为软开集，对每一个(M,E)∈T,(M′,E)称为一个软闭集。={(M,E)⊆(N,E(N,E)∈T′}，明显地对每一个 e∈E ，集族Te={M(e)|(M,E)∈T}是 X上的一个拓扑。对每一个(M,E)∈(2X)E，有 (ˉ,E。这里(e)=，对每一个e∈E，指 M(e)在 Te中的闭包。

定理1.1[3]（1）设(X,T,E)是一个 X上的软拓扑空间。若 (X,T,E)是一个软T3空间，则对每一个 x∈X,(x͂,E)是软闭的。

（2）软T3空间是软T2空间。

在下文，若没有提到和解释的概念，有关软拓扑空间的一些概念和性质可以在文献[2]中找到。

2 软Urysohn空间和软T5空间

本章先给出软Urysohn空间和软T5空间的概念。

定义2.1设(X,T,E)是X上的软拓扑空间，∀x,y∈X且 x≠y，若存在软开集(M,E)和(N,E)使得 x∈(M,E),y∈(N,E)(X,T,E)称为是一个软Urysohn空间。

定义2.2设(X,T,E)是X上的软拓扑空间，∀(M,E),(N,E,X)∈(2X)E满足下面条件：，若存在软开集 (P,E,X)和 (Q,E,X)使得T,E)称为是一个软完全正规空间。(X,T,E)称为是一个软T5空间，若它是一个软完全正规空间且是一个软T1空间。

本章的主要结果如下：

定理2.1设(X,T,E)是一个软拓扑空间。

（1）若(X,T,E)是一个软T5空间，则(X,T,E)是一个软T4空间。

（2）若 (X,T,E)是一个软Urysohn空间，则 (X,Te)是一个Urysohn空间  (∀e∈ E)。

（3）若(X,T,E)是一个软Urysohn空间且Y是 X上的一个非空子集，则(X,TY,E)是一个软Urysohn空间。

（2）∀x,y∈Y且 x=y，由于(X,T,E)是一个软Urysohn空间，存在软开集(M,E)∈T和(N,E)∈T使得 x∈(M,E),一个Urysohn空间 (∀e∈E)。（3）∀x,y∈Y 且 x=y，则存在软开集 (M,E)∈T 和是一个Y上的软闭集，记(MY,E)和所以(X,TY,E)是一个软Urysohn空间。

定理2.2（1）若(X,T,E)是一个软T3空间，则(X,T,E)是一个软Urysohn空间。

（2）若 (X,T,E)是一个软Urysohn空间，则 (X,T,E)是一个软T2空间。

证明（1）设(X,T,E)是一个软T3空间。首先，对每一个 x∈X和每一个开软集(M,E)满足 x∈(M,E)，存在开软集(N,E)满足 x∈(N,E)使得。事实上，设 x∈X 和 (F,E)∈T 满足 x∈(F,E)，则 x∈(F,E)′∈T′，因此(X,T,E)是一个软T3空间，存在软集(M,E)和(N,E)满足 x∈(M,E)和其次，由定理2.1可知(X,T,E)是软T2空间，设 x≠y，则存在软开集(M,E)和 (N,E)满足 x∈(M,E)和 y∈(N,E)使得因此，存在开软集 (P,E)满足 x∈(P,E)使得且存在开软集 (Q,E)满足 y∈，因此(X,T,E)是一个软Urysohn空间。

（2）容易证明，略。

注1（1）若(X,T,E)是一个软正规空间，则(X,T,E)不一定是一个软正则空间。

（2）若(X,T,E)是一个软正规空间，且Y是 X的一个非空子集，则(X,TY,E)不一定是一个软正规空间。事实上，设 (Y,TY,E)不是一个软正规空间，∞∉Y，设 X=可以证明(X,T,E)是一个软拓(F,E,X)和 (G,E,X)是 X上的软闭集满足(G,E,X)=͂，则其中之一不含∞，不妨设为(F,E,X)，所以 (F′,E,X)=͂，因此 (F,E,X)=͂，则存在软开集 ∅͂和T,E)是一个软正规空间。

（3）文献[2]中注5①一个软T4空间不一定是软T3空间。

②若(X,T,E)是一个软T4空间，则对每一个e∈E，(X,Te)不一定是T4空间。

③若(X,T,E)是一个软T4空间，且Y是 X的一个非空子集，则(X,TY,E)不一定是一个软T4空间。

可以证明文献[2]中注5的陈述是正确的，但是它的例子是不正确的，即文献[2]中例10是不正确的。因为存在软开集͂满足 h4∈͂，但 hi∈=1,2,3)，因此 (X,T,E)不是一个软T1空间，所以(X,T,E)不是一个软T4空间。

下面给出正确的例子：

例2.1设X={1 ,2,3,4},E={e1,e2},T={͂,͂,(F1,E),(F2,E),…,(F22,E)},这里的

则可以证明(X,T,E)是软正规空间且是软T1空间。即(X,T,E)是一个软T4空间，但不是T3空间，因为1∈͂和(F3,E)′是 X的一个软集满足1∉(F3,E)′，所有软开集(Fi,E) (i=1,2,3,19,20,21,22) 和满 足 1∈(Fi,E) 和1∈͂, 所 有 软 开 集 (Fj,E) (j=8,17) 和͂满 足，即不存在软开集 (F,E)和(G,E)满足,因此每一个软T4空间不必是一个软T3空间。

现在由于 Te2={∅,X,{1,2,3},{1,4},{2,3},{1}}，因为2≠3，所有的开集{2,3},{1,2,3}和 X满足 2∈{2,3},2∈{1,2,3}且2∈X也包含元素3，所以(X,Te2)不一定是一个T1空间，因此(X,Te2)不一定是一个T4空间。

取 Y={1,2,3},则 TY={͂,͂(FY1,E),(FY2,E),…,(F12,E)}。这里的

则容易证明(X,T,E)是一个软T1空间，但不一定是一个软正规空间，因为(FY2,E)′和(FY5,E)′是Y上的两个软闭集，使得所有软开集 (FYi,E)(i=1,4,5,8,10)和͂满足i和和存在软开集 (FY,E)和͂满足2和但是,即不存在 Y 上的软开集 (F,E)和 (G,E)满足(F,E)和使得因此一个软T4的子空间不一定是软T4空间。

3 软分离性的各种关系

在本章，作为本文的结束，将给出几种分离关系如下：

定理3.1 T5⇒T4⇒T3⇒ 软Urysohn空间⇒T2⇒T1⇒T0；T5⇒软完全正规空间⇒软正规空间⇒软正则空间。

证明由定理1.1、定理2.1～2.2、注2.1以及文献[2]，易知定理3.1是成立的。

[1]Molodtsov D.Soft set theory-first results[J].Computers and Mathematics with Applications，1999，37（4/5）：19-31.

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