非保守系统复模态的规范正交性及其应用

于 澜，张 淼，鞠 伟，谷 涛

(1．长春工程学院理学院，吉林长春130012;2．中国第一汽车股份有限公司技术中心，吉林长春130011)

在许多动力问题中，质量、阻尼和刚度阵不能被对称或有自连接的微分算子所表达，这种现象经常出现在主动控制结构和非保守动力系统中，如移动的汽车、飞行中的导弹或船体的运动等典型研究中．众所周知，结构动力系统的无阻尼固有振型关于质量阵和刚度阵是规范正交的，利用这种规范正交性可将振动方程解耦，以便于计算响应历程［1］．除此之外，类似的正交规范性在其他工程领域中有着极为广泛的应用．在结构模型修正时，在基于设计参数或矩阵元素的一类修正算法中，经常使用无阻尼实模态的规范正交化条件作为约束来求解修正量［2-5］，最近也开始有文献使用阻尼系统复模态的规范正交化条件来进行模型设计参数的修正［6-8］．通常在正交规范化条件使用时，令规范化常数为1，但在工程实际中这种规范化方法往往是不够充分的，事实上，振型或状态向量，在一个可控的数值乘数范围内并不唯一，因此，选择合适的规范化常数，使其符合工程需求是十分必要的．文献［9］、［10］描述过规范化常数的选择方法，文献［11］则利用规范正交化条件避免了特征分析中常见的奇异性．在此基础上，本文分析了非保守系统复模态的正交性及特点，提出一种适合工程需求的规范化方法，并利用它推导出非保守系统复模态的灵敏度表达式，结果精确且易于实施，可以很有效地应用于结构的模型修正、损伤识别及优化设计中．数值算例证明了这种算法的正确及有效性．

1 线性振动系统的左右模态

描述自由度为N的线性阻尼离散系统的自由振动的动力方程

如果si满足

称为系统(1)的第i个特征值，同时uiN称为系统(1)与s相对应的第i个右模态，如果对vN，ii若满足

称为系统(1)的左模态．由式(3)、(4)可知，当性质矩阵为对称阵时，系统(1)的左、右模态是相同的，此时称系统(1)为保守系统，但当性质矩阵不是一般的对称矩阵时，则称系统(1)为非保守系统，它的右模态已不能满足工程应用的需要，必须考虑同时使用它的左模态．本文正是针对非保守系统利用左、右模态的正交性讨论其在结构优化中的应用．

2 非保守系统左右模态的正交性

2．1 形如Ayy=0的状态方程

设y(t)=(x(t)˙x(t))T代入方程(1)，则该二阶系统转化为一阶系统:

其中

称为系统(1)的状态矩阵．

2．2 状态矩阵A的左、右状态向量及其正交性

作拉普拉斯变换代入式(5)，则A(u s u)Test=s(u s u)Test，且s和u同样满足式(3)，由此可知原系统(1)的振动特征问题转化为状态矩阵A的一般特征问题:

其中si是A的第i个特征值，称zi2N为 A 的第i个右状态向量，它的前N维恰为振动系统(1)的与si对应的右模态向量ui，即zi=(uisiui)T．此时由于状态矩阵不具有对称性，导致它的右状态向量系并不正交，为了进一步讨论正交性，需引入状态矩阵的左状态向量系．

对向量yk2N，如果有

对不同的特征值，矩阵A的左、右状态向量不仅满足正交性，而且满足关于矩阵A的加权正交性:

3 模态正交性在结构优化灵敏度分析中的应用

假定形如方程(1)的结构系统能被一系列设计参数所描述，构成设计向量 g=(g1，g2，…，gm)T，系统的性质矩阵变成g的函数:M，C，K:g→ RRN×N．当系统修改时，g发生扰动为 Δg=(Δg1，Δg2，…，Δgm)T，其中 Δgj(j=1，…，m)是第 j个设计参数的扰动量．记偏导数 ui，j= ∂ui/∂gjN代表第i个复模态ui关于第j个设计参数gj的灵敏度．作变化后的新系统模态uchangei的一阶泰勒近似，得到

考虑式(7)所代表的特征问题，假定zl(l=1，…，2N)组成了A的右状态空间的完全的右状态向量系．在状态空间内展开zi，j如下:

其中 a(ij)l(l=1，…，2N)代表式(13)的展开式系数．显然

为得到灵敏度ui，j，需求解各展开式系数．对式(7)求导得那么

把式(13)代入式(15)，可得

左乘yTk(k≠i)，依据非保守系统左、右状态向量的加权正交性(式(11))及正交性(式(10))得到

再利用式(8)可得

化为N维模态空间形式为:

至此，虽然在讨论中引入了2N维状态向量对(yi，zi)，但获得a(ij)k(k≠i)的表达式时还是返回N维模态向量对(ui，vi)的形式，从而节省了计算机时，易于操作．在后面的讨论中求解a(ij)i的公式时，依然沿用这种简洁的形式．

为了获得a(ij)i，引入一种新的状态向量规范化格式，首先规定对第i组的状态向量对(yi，zi)的第ni个分量元素是相等的，即{yi}ni={zi}ni，其中{·}i代表向量的第i个元素．其次ni的选取依据下列原则

令

经验证可知

将规范化条件(20)写成二阶系统的规范化形式

可见当阻尼阵为零阵时，这一条件即退化为熟悉的质量规范化条件，即充分保持了与传统的模态分析及实践相一致．记规范化后的左、右模态向量分别为u'i和v'i．

由规范化条件(19)求导得

作与式(13)类似的假定，将yi，j在A的完全的左状态空间中展开为

其中b(ij)l代表式(22)的展开式系数，推导可得

将式(13)、(22)代入式(21)，并使用非保守系统左、右状态向量正交性(式(10))得

因yTizi≠0，所以

关于b(ij)i，a(ij)i的第2个方程仍可以由上述规范化方法确定．显然，如果状态向量对(yi，zi)的第ni个分量元素在规范正交化过程中保持相等，那么它们的导数也是相等的，因此{yi，j}ni={zi，j}ni．

把式(13)、(22)代入上式得整理并化为N维模态空间形式为:

由式(24)、(25)可知

这样，通过式(16)、(26)即可获得式(14)中的展开式系数 a(ij)l(l=1，…，2N)，代入式(14)，可得复模态 ui关于设计参数gj的灵敏度 ui，j．那么根据式(12)，新系统模态uchangei的近似值为˜ui=ui+ui，jΔgj．

4 数值算例

非保守系统计算特征问题的导数可在一个轮转构件中得以展示．图1显示的是一个基于柔性支撑的刚性转子的简图．

图1 刚性转子简图Figure 1 A schematic of a rigid rotor

该系统的性质矩阵分别为:

特征值见表1．

表1 系统特征值Table 1 Eigenvalues of system

本文选择转子质量m作为设计参数，取Δm=0．01，对模态 u2作灵敏度分析，利用式(16)、(26)得展开式系数 a(2m)l(l=1，…，8)，并代入式(14)，则系统模态u2的灵敏度为

5 结论

［1］杨戈锋，刘秀湘．不确定脉冲多实滞系统的保性能控制［J］．华南师范大学学报:自然科学版，2009(1):13-17．

［2］徐静，董雁，李静敏，等．有限元模型修正法在结构动态设计中的应用［J］．浙江海洋学院学报，2001，20(2):139-142．

［3］冯文贤，陈新．基于实验复模态参数的有限元模型修正［J］．航空学报，1999，20(1):11-16．

［4］保宏，赵冬竹，乔永强．一种正交向量基结构动力模型修正［J］．西安电子科技大学学报，2009，36(1):151-155．

［5］李剑，洪嘉振，李伟明．模型修正的正交模型——正交模态改进法［J］．动力学与控制学报，2008，6(1):61-65．

［6］何建军，姜节胜．基于降阶模型的非经典阻尼结构拓扑修改的复模态重分析方法［J］．振动与冲击，2009，28(7):50-54．

［7］刘金梅，韩国有，周国强．基于灵敏度分析的井架结构模型修正方法的研究［J］．科学技术与工程，2009，9(9):2366-2370．

［8］夏品奇．斜拉桥有限元建模与模型修正［J］．振动工程学报，2003，16(2):219-223．

［9］NELSONR B．Simplified calculation ofeigenvector derivatives［J］．AIAA Journal，1976，14(9):1201-1205．

［10］MURTHY D V，HAFTKA R T．Derivatives of eigenvalues and eigenvectors for a general complex matrix［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，1988，26:293-311．

［11］ADHIKARIS，FRISWELL M I．Eigenderivative analysis of asymmetric non-conservative systems［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，2001，51:709-733．