基于结构思想的数学教学

殷堰工

（苏州市教育科学研究院，江苏 苏州 215004）

“数学是通过对概念的分析、生成和组织，对命题的严密逻辑推理而形成的互相联系的系统化的有机整体。反映的是概念命题的客观逻辑结构”，“数学是用数学经验规则组成的体系，其组织的活力依赖于各部分之间的联系，结构决定体系的功能”。[1]2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“《标准》”）中，首次出现了数学课程结构图[2]，成为新一轮课改的一大亮点。如何从全局上把握数学学科的思想，从内容上把握数学知识结构，是摆在每个数学教育工作者面前的一个现实课题，也是提高数学教学质量的前提和保证。本文以皮亚杰、布鲁纳、布尔巴基学派的结构思想为指导，重点阐述数学结构思想下的数学教学，以及数学思想方法的渗透问题。

一、结构思想的理论依据

瑞士心理学家、发生认识论创始人皮亚杰采用数理逻辑作为刻画儿童逻辑思维发展的工具，从宏观的角度对三种基本数学结构的“自然性”进行了分析，认为：第一种结构的特征是可逆性，表现为“可逆关系”，如加法和减法的关系；第二种结构的表现为“互反性”，如“大于”和“小于”的关系；第三种结构则是与“连续变换”相对应的[3]。这与数学史上有名的布尔巴基学派认为的全部数学基于三种母结构——代数结构、序结构、拓扑结构的思想具有很高的吻合度，与该学派“数学是研究结构的理论”的观点也具有一致性，突出了“结构是功能作用的中心”的论点。[4]

当代深孚众望的教育家布鲁纳发展了皮亚杰的认知发展理论，他在其著名的《教育过程》一书中指出：“不论我们教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”[5]布鲁纳认为，“基本概念和原理是学科结构最基本的要素”，这些基本结构反映了事物之间的联系，具有“普遍而有力的适用性”。[5]“所谓‘学科基本结构’，布鲁纳解释说，是指该学科的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性，是指知识的整体性和事物的普遍联系，而非孤立的事实本身和零碎的知识结论，如代数学上的交换律、分配律、结合律等。他认为，任何学科都有基本结构，任何与该学科有联系的事实、论据、观念、概念等都可以不断地纳入一个处于不断统一的结构之内。这种基本结构是学生必须掌握的科学因素，应该成为教学过程的核心。学生如果掌握了学科知识的基本结构，就可以独立地面对并深入新的知识领域，从而不断独立地认识新问题，增多新知识。”[6]布鲁纳以初等代数为例，认为学生只要掌握了方程式中所包含的交换律、分配律和结合律，那么在遇到新的方程式时，就能按照这些基本法则独立解题，这些新题目只不过是所熟悉题目的“变式”而已。所以，教师的根本任务，就是要用这门学科基本的和普遍的知识、观念来不断扩大和加深学生的知识结构。[6]知识结构不仅是知识的固着点，也是从不同侧面认识事物的一条途径，学生头脑里积累的知识只有做到条件化、成熟化、结构化，才会有效地同化、巩固和迁移，才能成功地解决问题[1]。

二、数学结构思想与数学教学

（一）学科基本结构与知识的构建

学生通过学习基本结构、理解基本概念和原理，就能较容易地深入理解所学内容。掌握学科基本结构有利于对学科的深入理解和进行整体上的把握，基本结构对整个学科内容具有统率作用。就教师而言，必须学会或探索构造知识结构图。所谓知识结构是各种知识在人类大脑中的组织形式，它包括各种学科知识的配置比例，相关程度和协同关系。知识结构的关键是结构，而知识本身仅仅是组成这种结构形式的材料。知识结构图[7]主要包含以下四个要素：

1.明确每个章节的知识背景：包括新旧知识的梳理、新旧知识间的联系、新旧知识之间的迁移所运用的基本思想及学科方法、知识点间的发展过程等。

2.知识梳理：对相关的知识进行科学整理、分类，在系统完整的基础上明确并突出重点。

3.知识网络的初构：建立各知识点间的联系，比较知识间的差异，总结经验规律，强化素质和能力。

4.知识应用和拓展：精选不同层次的例题、习题，解决实际问题，点拨方法，开拓思维，开发智力，培养能力，同时以学生认知规律为依据，挖掘深度，拓展广度。

知识结构图的构建，关键在于教师如何指导学生构建知识体系，形成知识的网络化，“与学生共同探索知识，寻求答案”[7]，进一步体现学生的主体地位。这正是知识结构图所孕育其中而又不拘泥于其中的一片广阔天地。

知识构建可以使我们明晰课堂教学的任务和教学重点，理清完成教学任务的思路，使我们能够“在全局上把握学科的思想，内容上把握知识的结构”[7]，从而达到自如驾驭教材的能力，同时使学生获得有活力的条件化、结构化的数学知识、概念体系和命题体系。具体来说，需要把所教的内容结构化，即在整个中学范围内，任何章节的知识，它们本身具有一定的结构性。必须把每一章的主要内容先串成“线”，然后再由“线”织成“网”，并且告诉学生探究事物因果关系的思维模式。在此基础上，使结构内容丰富化，使得结构化了的知识能够与学生内在的知识结构碰撞，并能及时地同化在学生的新的知识结构中，以形成他们长期的记忆。

（二）从美学的角度看数学结构

我国著名数学家徐利治先生明确指出：“数学是人类文明的结晶，数学的结构、图形、布局和形式无不体现出数学中美的因素。”[8]数学具有无与伦比的结构美，结构图、群结构、同构等都是数学结构美的表现形式[9]。

以同构为例，结构上相同的数学对象可以相互转化，这种转化来自于数学结构内在的美，它丝毫不会改变这些数学对象的实质，然而却对我们研究数学问题的难易程度有很大的影响。一个比较复杂的数学问题，经过同构变换，可能会变得十分简洁明了，非常便于处理，历史上三大尺规作图不可能问题的解决就是最有说服力的例证之一。可以说，数学的美深深蕴涵在它的基本结构之中，数学结构是数学美的源泉之一。

数学的结构美主要表现为知识体系的高度统一、式子结构的对称有序、数学元素（数字、符号、式子）的完备整齐等。如解析几何把代数和几何两大数学分支高度地统一起来，而解析几何中的椭圆、双曲线、抛物线又都可以统一于圆锥截线之中；又如，在集合理论建立以后，代数中的“运算”、几何中的“变换”、分析中的“函数”这三个不同领域的概念可以统一于“映射”概念之中；再如，平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理可以统一于一个圆幂定理之中。还有像数学中的“关系—映射—反演”方法，一个三角形的三个正切之和等于三个正切之积这样的三角恒等式等均淋漓尽致地呈现出数学的结构之美。只要善于发现、挖掘、创设这些“结构美”，会给我们解决问题带来意想不到的效果。对于学生而言，可以获得从总体上记忆、理解和把握数学知识的逻辑结构的方法、具体问题具体分析的解题方法，这非常有利于提高数学解题教学的质量。

（三）数学结构思想与教学

数学结构思想是对教育层面上数学本质的认识与处理方式，它主要强调数学知识间的广泛关联性。运用数学结构思想进行数学教学，不仅能提高学生对知识掌握的效率，而且能使学生获得全面的数学素质。“特别是新知识的教学不能孤立进行，应把新知识纳入原有的观念系统中进行整体考虑，使新知识与原有的相关知识相联系，并把这些有联系的知识点重新组织为一个大的知识组块。这样，既有利于知识的保持又有利于知识的检索与应用。”[10]教师应通过运用元认知在知识点之间的实质性关联和逻辑性联系上讲清知识的来龙去脉以及知识结构的建构方式、过程和结构图式，并进行概括梳理，使各种知识形成“组块”，在知识结构的总体上把握数学的概念、原理、定理、法则以及数学方法和技巧，不断深化知识。例如，学完三角函数的36个诱导公式之后，如果不作进一步的组织加工，那么这些孤立的知识是难以保持和应用的。但如果教师引导学生把这些公式放在一起进行观察、比较、分析，最后概括为新的知识组块——“奇变偶不变，符号看象”，那么学生的数学认知结构也将得到优化。[11]

而具有起固定作用的核心数学观念的数学认知结构具有较高的信息解读能力，包括抽象、概括、类比、归纳、逻辑推理、论证等理性思维能力和思维探究能力[1]。不妨再以“向量”内容为例说明之：

《标准》把向量作为刻画现实世界的数学模型。[2]学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程，即“问题情景—建立模型—数学结果—解释、应用与拓展”。《标准》对向量的处理，首先提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原理）的分析、概括与抽象，建立向量模型，再运用数学方法研究向量模型的性质，最后运用向量模型及其性质去解决包括现实原型在内的更加广泛的一类实际问题，这种处理体现了数学知识的产生和发展过程，反映了数学的“来龙去脉”，有助于学生理解数学的本质，形成对数学的完整认识和理解。

三、数学思想方法蕴涵于数学结构之中

（一）对数学思想方法的认识

数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中的高度抽象、概括的内容，它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中，直接支配着数学的实践活动。数学方法是解决问题的策略与程序，是数学思想具体化的反映。从这一意义上来讲，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为，数学思想对数学方法起着指导作用，是数学结构中的有力支柱。数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中抽象、概括、提炼的数学观点，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。掌握数学思想方法能不断深化对数学知识本质的认识，在解决问题过程中减少盲目性，增加针对性，对提高分析问题和解决问题的能力具有本质性、概括性和指导性的意义。

（二）数学思想方法是一种特殊的“结构”

核心概念体系与命题体系的建构过程，可以揭示蕴涵于核心概念的概念体系、命题体系深层的数学思想方法。数学本身蕴涵着丰富的思想方法，如对称、转化、分类、统计、模型、概率、逼近、定量化等，有着函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等数学思想。一种数学思想方法是解决某一类数学问题的方法的一个“结构”。可见，学习数学，除了要学习基础知识，还要学习数学思想方法，这一点与布鲁纳的学科结构理论的思想是一致的。诚如皮亚杰所说“结构主义真的是一种方法”[3]，我们应该从方法论的意义上来看待结构主义。

（三）数学教学应该渗透数学思想方法

数学思想渗透在中学数学学习的全过程之中，是以数学知识为载体的更高层次的数学。然而，反观当前的数学教学，对数学思想方法教学缺乏意识是一个普遍存在的问题。主要表现为：

1.确定教学目的时，对具体知识技能训练的重点、难点的教学要求比较明确，忽视数学思想方法的教学要求。

2.教学时，往往注重知识结论的传授，忽视知识形成过程中数学思想方法的训练。

3.知识应用时，往往偏重于就题论题，忽视数学思想方法的揭示与提炼。

4.小结复习时，只注重知识体系、知识网络的整理，忽视数学思想方法的归纳与提高。

凡此种种，致使数学教学停留在较低的层次上。为此，笔者曾专文论述了在基础知识的教学中渗透数学思想方法、在解题教学中渗透数学思想方法、在复习教学中渗透数学思想方法等观点[12]，并且强调了知识结构在渗透教学中的作用。比如，分类讨论的思想，几乎每一章都会涉及到，因此，在平时的教学中要注意到这种反复性，同一种思想方法在这一章出现了，在下一章可能还会出现，教师就要运用统筹的观点，有意识地让学生在这种反复接触、理解、运用、体验中不断加深对这种思想方法的认识和掌握，提高和升华[12]。总之，在中学数学教学过程中渗透数学思想方法，能帮助学生真正认识数学的本质，提高分析问题和解决问题的能力。

[1] 王学沛，邓鹏，魏勇.几种教学观下的数学教学[J].课程•教材•教法，2008，28（2）：53-57.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003：4.

[3] 皮亚杰.结构主义［M］.倪连生，王琳，译.北京：商务印书馆1984：6-11.

[4] 张宏斌.试述数学结构思想及其在数学教学中的运用[J].辽宁教育行政学院学报，2006，23（12）：125-127.

[5] 布鲁纳.教育过程［M］.邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982：8-18.

[6] 靳瑞宏.学习学科基本结构理论 推进基础教育课改进程[J]. 文理导航：下旬，2010（6）：6，8.

[7] 周慧君.新课程理念下的数学教学[J].中学课程辅导：教学研究，2009，3（24）：5-6.

[8] 年仁德.让数学课发出美的光辉[N].中国教育报，2002-02-20（4）.

[9] 裘肖庚.论数学结构美[J].抚州师专学报，2003，22（3）：53-56.

[10] 陈华安.从公开课《倍角公式》教学反思“组块化”教学的缺失[J].数学教学通讯，2008（5）：22-25.

[11] 邵梅生.由浅入深说理解——例析学生数学理解的层次性[J].基础教育课程，2007（11）：20-22.

[12] 殷堰工.数学思想方法及其教学[J].苏州市职业大学学报，2008，19（4）：116-118.