吕美英
吕美英/重庆师范大学数学学院讲师,博士(重庆401331)。
泛函分析是从变分法、积分方程、微分方程、逼近论和理论物理的研究中发展起来的一个数学分支,它综合地运用分析、代数和几何的方法,研究无限维线性拓扑空间和这类空间之间各种映射的一般性质。改革开放以来,全国众多高等院校为数学专业的本科生和理工科研究生都开设了泛函分析课程,并且泛函分析已经成为数学专业本科生学习分析学的一门重要的基础课程,国内外许多著名的数学家也编著了泛函分析教材。泛函分析课程综合了代数、分析、几何的观点和方法,所涉及的内容和技巧对数学专业各研究方向都极其重要。但由于该课程的高度抽象性,国内外普遍存在难教难学的问题。笔者承担了重庆师范大学研究生一年级的泛函分析的教学任务,现从优选教材、优化内容;做好与数学分析、实变函数等基础课程的衔接;充分利用直观形象的教学手段;注重习题的训练;以及以培养学生创新精神为目标,积极开展科研活动等五个方面,就如何教好泛函分析课程进行阐述如下。
最近几年,随着各个高校本科生、研究生的扩招,以及学生地域性、受教育程度的不同,致使学生数学基础参差不齐;同时,有的高校不断扩充公选课的数量与课时,增加学生参加社会实践的时间,致使泛函分析的课时大大减少。在这样的双重矛盾下,教师必须选择适合自己教学对象的教材才能达到良好的教学效果。教材过于简单、容易,学生学之甚少,不利于人才的培养;教材内容过多、过深,学生则很难消化,不利于泛函分析理论体系的掌握。目前,在全国高校中使用最多的有以下四本教材:复旦大学夏道行等编的《实变函数与泛函分析》下册泛函分析部分,这本书出版时间较长,内容较为丰富,包含了泛函分析的许多研究专题;华东师范大学程其襄等编著的《实变函数与泛函分析基础》泛函分析部分,该书以精简的方式介绍了泛函分析的核心内容,直观易懂与严密处理相结合,本教材注重师范性与泛函分析科学体系的统一性,是目前师范院校广泛采用的泛函分析教材;武汉大学刘培德编著的《泛函分析基础》,该书是国家理科基地教材之一,本教材着意较强基础理论的讲解,在突出基本理论框架的同时有重点地介绍了对于其他学科的应用,以简短的篇幅叙述泛函分析的基本理论,并以适当的深度挖掘其中的思想和方法,是一本适合学生基础较好且课时数较多的情况下使用的教材;北京大学张恭庆等编著的《泛函分析讲义》,该书系统介绍了线性泛函分析的基础知识,他侧重于分析若干基本概念和重要理论的来源与背景,强调培养学生运用泛函分析方法解决问题的能力,并注意介绍泛函分析理论与数学其他分支的联系,是适合理工科本科生与研究生使用的一本教材。
在选好教材的同时,也要注重教学内容的安排,要明确哪些内容要讲或者不讲,哪些内容精讲或者略讲。就以程其襄等编著的《实变函数与泛函分析基础》为例,如果课时数量较少,可只介绍度量空间、Banach空间和Hilbert空间;而在课时数量稍多的情况下,可讲解线性泛函和线性算子的重要定理;如果能达到50学时以上,可介绍全部内容。
泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上,一种是代数结构即线性结构,另一种是拓扑结构。泛函分析与经典分析、线性代数、复变函数、实变函数、微分方程等基础课程有着密切的关系。例如,在实变函数中,我们接触过的有界变差函数类、绝对连续函数类、满足Lipschitz条件的函数类以及有号测度类等,都可以赋以适当的范数使之纳入赋范空间的框架。在经典分析中,我们知道函数是数集与数集之间的对应关系,而泛函则是函数集与数集之间的对应关系,算子是函数集与函数集之间的对应关系。在数学分析中,我们有Cauchy列必收敛。但这一论断在抽象空间中并不成立,造成这一现象的原因在于这些抽象空间中的点“不够多”,由此引出了Banach空间的概念。又如,在数学分析中,我们有Bolzano-Weierstrass定理即有界数列必存在收敛子列,而这一定理在无限维抽象空间中也不成立,由此导出了紧集的概念。
可见,泛函分析与数学基础课程之间有着密切的联系,所以要做好与数学分析、实变函数等基础课程的衔接,使泛函分析中基本概念与基本理论的教学更透彻易懂。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化,而且还把这些概念和方法几何化。例如,不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点和向量,这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念,它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间。又如,泛函分析中的凸集隔离定理,又称为Hahn-Banach定理的几何形式,它在规划论、控制论与Banach空间几何理论等方面都有重要的作用。对于该定理,我们首先考虑平面的情况,若,是平面上的两个不相交凸集,我们一定可以用一条直线将两者隔离开来。同样地,对于三维空间中的两个不相交凸集可以用一个平面来隔离。推广到一般的线性空间就是我们的凸集隔离定理,事实上对于一般线性空间的两个凸集是用超平面隔离开来的。
由于泛函分析的许多结论都是来源于古典分析,因此,在许多情况下,我们以平面上的情形代替,这虽不准确但也能很好地说明问题,并且这要比空间中的模型简单许多,提高了讲授效率。
学数学从某种程度上说就是做数学。对数学工作者而言,无论是学习还是研究,保持对数学问题的浓厚兴趣最重要,在数学学习中要不断尝试解题,屡遭挫折是正常的,有时虽未获得解决,但尝试解题过程本身加深了对基本概念与基本理论的理解,是提高能力的正确途径。所以,教师应适当地补充一些习题,供学生练习。让学生对学习到的知识进行强化,从而达到保存知识的目的,否则学生不可能掌握这类问题,更不可能利用这种理论去解决实际问题,学生将越学越怕这门学科。
在泛函分析的教学中,结合课堂教学内容,引导学生将所学理论应用于其他课程中,这会使学生增强独立思考的勇气和信心,培养学生的创新能力。例如,在学习了共鸣定理、开映射、闭图像以及Hahn-Banach定理之后,可以试着引导学生将这些定理应用到Fourier分析,微分方程适定问题、逼近论以及近似计算等方面,写成应用型的小论文。又如,在学了Banach不动点定理之后,可以指导学生,收集更多不动点定理的理论,比如,Brouwer不动点定理、Schauder不动点定理以及Kakutani不动点定理等,并找出实际的例子加以应用,最后写成综述型的小论文。这样不仅可以增加学生学习泛函分析的兴趣,同时可以培养学生的论文写作能力与技巧,为毕业论文的写作以及进一步的深造打下基础。
总之,在规定课时的情况下,尽量优选教材、优化内容,做好与数学分析、实变函数等基础课程的衔接,充分利用直观形象的教学手段,并以培养学生创新精神为目标,注重习题的训练,积极开展科研活动,可以提高泛函分析教学的质量与成果。
[1]刘培德.泛函分析基础[M].北京:科学出版社,2006
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