有关环的有限可公理化问题①

万展翔， 陈国龙， 张 龙

(淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北235000)

1 预备知识

下面定义1 来自文献［1 ～3］的整理:

定义1 设L = {+，·，0，1}，+，·是二元函数符号，0，1 是常量符号，μ 是L 的一个模型，Γ 是由下列语句组成的理论:

(1)(x +y)+z ≡x +(y +z)(加法结合律);

(2)(x·y)·z ≡x·(y·z)(乘法结合律);

(3)y(x + y ≡0 ∧y + x ≡0)(有逆元);

(4)x + y ≡y + x(加法交换律);

(5)x +0 ≡x ∧0 +x ≡x(0 是加法单位元);

(6)1·x ≡x·1(1 是乘法单位元);

(7)x·(y + z)≡x·y + x·z;(y + z)·x ≡y·x + z·x(乘法对加法的分配律);

(8)x·y ≡0 →x ≡0 ∨y ≡0;

(9)x·y ≡y·x(乘法交换律);

(10)1 ≠0;

(11)(x ≠0 →∃y(x·y ≡1));

(12)存 在 素 数 p， 使 p · 1 ≡ 0， 即

(13)任意素数p，都有p·1 ≠0.

若μ 满足(1)～(8)，则称μ 是无零因子幺环;若μ 满足(1)～(9)，则称μ 是整环;若(1)～(11)中，除了(9)外，μ 都满足，则称μ 是除环;若μ 满足(1)～(11)则称μ 是域;若μ 满足(1)～(12)，则称μ 是特征为p 的域，否则若(1)～(13)中，除了(12)外，μ 都满足，则称μ 是特征为0 的域.仿此可以定义特征为0(或p)的整环、除环、无零因子幺环模型.

定义2［2］称语句集Σ 是理论T 的一组(非逻辑的)公理，如果Σ├T，且T├Σ.由完全性定理，若Σ 是T 的公理，则Σ ╞T 且T ╞Σ，即Σ 与T 有相同的模型.如果T 有一公理集Σ，而Σ 有限，则称T 有限可公理化.

引理1［4］语句φ 在任意一个特征为零的无零因子幺环中真，则对任意n ＜ω，存在素数p ＞n，使得φ 在特征为p 的无零因子幺环中真.

引理2［1］语句φ 在任意一个特征为零的整环中真，则对任意n ＜ω，存在素数p ＞n，使得φ 在特征为p 的整环中真.

引理3［1］语句φ 在任意一个特征为零的除环中真，则对任意n ＜ω，存在素数p ＞n，使得φ 在特征为p 的除环中真.

引理4［1］语句φ 在任意一个特征为零的域中真，则对任意n ＜ω，存在素数p ＞n，使得φ 在特征为p 的域中真.

2 主要成果及证明

定理1 设L = {+，·，0，1}，则无零因子环的特征为零不能在L 中有限公理化.

证明 假设无零因子幺环的特征为零能在L中有限公理化.设L 的语句φ 表示无零因子幺环的性质“特征为零”，Γ 是无零因子幺环的公理集，令T = Γ ∪{φ}，则由假设，T 可有限公理化.设μ ╞T，则μ ╞T 当且仅当μ 是特征为零的无零因子幺环模型.又μ ╞φ，从而φ 在任意特征为零的无零因子幺环中真.由引理1 知，存在充分大的素数p，使得φ 在特征为p 的无零因子幺环中真.这与T 可有限公理化矛盾，从而无零因子幺环的特征为零不能在L 中有限公理化.

推论1 设L = {+，·，0，1}，则整环的特征为零不能在L 中有限公理化.

证明 假设整环的特征为零能在L 中有限公理化.设L 的语句φ 表示整环的性质“特征为零”，Γ 是整环的公理集，令T = Γ ∪{φ}，则由假设，T可有限公理化.设μ ╞T，则μ ╞T 当且仅当μ 是特征为零的整环模型.又μ ╞φ，从而φ 在任意特征为零的整环中真.由引理1 知，存在充分大的素数p，使得φ 在特征为p 的整环中真.这与T 可有限公理化矛盾，从而整环的特征为零不能在L 中有限公理化.

推论2 设L = {+，·，0，1}，则除环的特征为零不能在L 中有限公理化.

推论3 设L = {+，·，0，1}，则域的特征为零不能在L 中有限公理化.

注:推论2 与推论3 的证明与定理1，推论1 的证明相似.

［1］ 段彦峰，陈国龙，武成伟，等.紧致性定理在近世代数中的应用［J］.长江大学学报(自然科学版)理工，2012，9(5):9 -10.

［2］ 沈复兴.模型论导引［M］.北京:北京师范大学出版社，1995:71 -81.

［3］ 韩士安，林磊.近世代数［M］.北京:科学出版社，2004:122 -129.

［4］ 段彦峰，陈国龙，武成伟，等. 模型论在环论中的应用［J］. 淮北师范大学学报(自然科学版)，2012，33(3):32 -33.