将数学建模思想融入线性代数课程教学

□孙国祥

电子科技大学应用数学学院是国家批准的重点工科教学基地，它在教学改革方面开展了一些列相关讨论。“线性代数与空间解析几何”是国际级精品课程，而如何从培养创新型人才的战略高度去进行教学改革是本次探讨的重点内容之一，应用数学学院通过将数学建模的思想核心运用到“线性代数与空间几何”的教学过程中，既符合了电子科技大学的办学宗旨，也有利于培养创新型人才。

一、课程的重要性

线性代数与空间解析几何与微积分、概率论并列为工科学生高等数学课程的基础课程，它主要以矩阵、空间结构以及线性变换为主要研究对象，他与微积分的显著不同为：线性代数比较抽象，且与高数数学没有必然联系，而微积分与高数数学还有一定的联系。线性代数这门课程的核心内容是研究线性代数方程组解的情况以及怎样更便捷的求解、线性空间结构和线性变换等。线性代数作为一门抽象学科对工科学生主要有以下影响：

一是有利于培养学生的抽象思维。抽象思维能力有先天因素，但是也可以后天培养的，其中的方法之一就可以通过学习线性代数等课程来培养。它会教授你N维空间甚至是仿射空间，而这远远超出直观几何的研究范围。在实践中要运用先进的计算机处理实际问题也需要将将其抽象化，然后经计算机处理后再还原为实际问题，因此抽象思维对工科学生格外重要。

二是现代工程问题大部分最终都可以通过线性代数方程组求解来解决。例如，雷达散射截面、大规模集成电路设计、信号处理以及复合材料运用等方面。以雷达散射截面的计量为例，无论是运用有限差分、有限元还是矩量法来计量雷达表面电流分布然后计算散射截面，这都涉及到对连续问题离散化，进而求解线性代数方程组的解。

不可否认，由于知识积累和学习时间的不足，本科阶段对“线性代数与空间解析几何”的讲授也只是限定在基本内容，而对于希望继续从事科研的学生这一阶段的学习能为他们将来的学习与科研打下坚实的基础；而对于那些毕业参加工作的学生来说，这门课程培养的抽象思维对他们的工作也是有积极作用的。因此，线性代数能够培养学生的抽象思维能力，并为他们将来专业深造打下坚实基础。

线性代数由于与高中数学没有必然的联系且较为抽象，所以学生们学习起来普遍反映较困难。从教学实践和经验来看，学生对于空间、特征值以及线性变换等抽象的代数内容学习起来感到困难，对于其在工科的应用就更难掌握。当前，如何激发学生学习线性代数的积极性，并将其应用于工程问题是急需解决的紧要问题。而本文认为将数学建模思想融入到线性代数教学中去是一种可以探索的有效方法。

二、数学建模思想融入教学

数学建模主要是对实际问题建立相应的数学模型来进行分析，通过对数学模型求解来达到处理实际问题的目的。它能够培养学生分析问题的能力和运用所学知识解决实际问题的能力，这也正是它备受社会关注，并成为我国高校数学教学重要内容的原因所在。

综上所述，由于线性代数较为抽象，如果能够用实际问题来引导学生，让他们去观察问题、讨论问题、分析问题进而解决问题，这样就能提高学生学习这门课程的兴趣，也能够帮助他们理解和掌握相关知识。在实际教学中可以运用两种方法来将数学建模思想融入到线性代数课程中：

（一）第一种方法是采用数学建模的团队形式，通过小组讨论的方式来对特定问题进行探讨分析，最后根据讨论结果形成报告，同时引出需要讲授课程的新内容。

建模所需的实际问题既可以从实际生活中获取，又可以教师从科研活动中得来。例如，当讲解到矩阵特征值和特征向量时可以让学生小组讨论分析一下问题：

有种昆虫，分为三组：第一组是不产卵的幼虫；第二组每个成虫两周产卵100个；第三组每个成虫两周产卵150个。假如该昆虫每个卵的成活率为9%，而第一组和第二组昆虫能够存活到下一个成虫组的概率为10%与20%。同时假设每个组的昆虫各有100只，请分别计算在第二、四、六周后各类昆虫的数量，同时思考以下问题：

1.将两周时间作为分析间断点，研究此种昆虫在周龄组数上的变化趋势。相邻的两个时间段里，每个周龄数组的昆虫数目是否保持一个稳定的比例？昆虫数目是否会发生极端变化？造成这种变化的原因是什么？

2.如果采用杀虫剂降低昆虫的成活率的方式来控制昆虫数目，结果使得每组的昆虫数量减半，那么这种杀虫剂是否有效？

（二）类似的问题在外来物种入侵方面也可以应用，比如说飞蛾、喜旱莲子草等等。林业部门、农业部门以及相关的防疫部门对这些问题比较关注（数值线性代数与此密切相关，同时这也是解决很多工程问题的重要工具）。这样做的目的是：

1.在学习过程中通过对实际问题的分析和研究，可以大幅度增强学生对学习数学理论的兴趣，并且在小组探讨过程中，有助于帮助学生提升对线性代数理论的理解程度，并且提高学生的解题能力和表述能力。

2.在学习过程中，以团队的形式增强学生的协作能力。并且，在每一个阶段，团队成员都将合作完成学习报告，在学习报告中，应该综合体现学生的个人观点、学习方法以及学习成果等等，通过这样的形式还可以增强学生的协作能力和创新能力。在综合应用计算机和数学软件（MATLAB）的基础上，通过先实现可视化模拟再建立抽象理论，可以大幅度提高学生对于抽象数学理论的理解程度。

3.通过这样的方式有助于提升学生对线性数学（理论、计算、应用）三个基本成分的理解程度。在此基础上知晓线性代数和矩阵的艺术性，并且积极学习新理论以及这些理论这实际问题中的应用。

4.通过这种教学方式有助于提升学生在学习和思考两个方面的结合度。通过将所学的知识系统化，可以提升学生在宏观层面的认知度。不过这种方法可能对课程内容有较大影响，对课时和学生人数的限制要求也比较高。电子科技大学以培养创新型人才的理念为引导，目前已经在这一方面做过不断尝试。

第二种方法，即将一些与课堂内容相关的实际问题融入到课堂讲授之中。以讲授特征值为例，根据总体课时和课程内容，在讲授昆虫繁衍问题时可以划分较长的时间进行讲述。对于工科学生，可以根据他们的相关专业，将更多的实际问题融入到课堂讲授中，这些可以在上文阐述的线性代数课程所扮演的角色中找到。

任何一种方法，首要条件都是要求老师在讲课之前准备相关的资料的素材。这些相关资料和素材在专业教材上可以获得。教学工作和科研工作两者应该充分结合，从而保证在选择例题方面更加具有代表性。

本科教学过程富含较强的探索性和创新性。在教学过程中，不仅承担了教授科学知识、传递文明的任务，还肩负了探索未知以及提高学生创新能力的责任。故而，在本科教学过程中，科研和教学两种内容是互相渗透有机结合的。在科研工作过程中，教师将积聚一种独有的精神气质，这种精神气质是集实践精神、进取精神、探索精神以及创新精神等等于一体的。长时间进行科研工作的教师，总是结合所研究方向的前沿热点，因而必然最先掌握了这方面理论的最新研究动态。例如，通过在“计算电磁学中大规模线性代数方程组的高效求解技术”研讨班上的学习，提高了线性代数课程的教师对于在经典物理中线性代数的应用层面的认知，因而在讲述“空间解析几何和线性代数”的相关理论时，这些教师就可以举出较多的应用实例，提高课堂教学的说服力。

综上所述，将数学建模思想融入到“线性代数与空间解析几何”的教学内容中，可以为学生搭建起一条沟通数学理论知识和应用实际问题的桥梁，在实际问题中，促进学生依靠数学建模思想思考问题、解决问题。从而为学生提供一种优质的思考方法，为学生以后的成功奠定基础。近些年来，数学建模思想逐渐被社会各界所接受，并且在教育界以及工业界中得到越来越广泛的应用。在大学本科教育中融入数学建模思想是一个新的课题，需要更为深入的研究和探讨。本文以为科研与教学两者互相有机结合是推行数学建模思想的有效途径。在这个过程中，可以培养学生的观察、分析、思考、判断以及推演能力；可以提升学生的创新能力；可以促进学生形成科学的问题思考方法、分析方法以及解决方法，为学生在将来生活以及工作中科学的解决问题奠定基础。

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