平面向量与三角恒等变换

谢丽

一、平面向量与三角函数

例1 已知向量[a=（cosα，sinα），b=（cosβ，][sinβ），|a-b|=255].

（1）求[cos（α-β）]的值；

（2）若[0<α<π2，-π2<β<0，且sinβ=-513，][求sinα]的值.

分析 本题的关键是[a-b=255].

解 （1）[∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），]

[∴a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）].

又[|a-b|=255]，

[∴（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=255]，

[∴2-2cos（α-β）=45，cos（α-β）=35].

（2）[∵0<α<π2，-π2<β<0，0<α-β<π]，

又[cos（α-β）=35]，[∴sin（α-β）=45]，

又[sinβ=-513]，[∴cosβ=1213]，

[∴sinα=sin[（α-β）+β]=6365].

点拨 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简.

二、平面向量与解三角形

例2 已知向量[m= 1 ， 1 ]，向量[n]与向量[m]的夹角为[34π]，且[m?n=-1.]

（1）求向量[n]；

（2）若向量[n]与向量[q= 1 ， 0 ]的夹角为[π2]，向量[p=cosA ， 2cos2C2]，其中[A，B，C]为[ΔABC]的内角，且[A，B，C]依次成等差数列，求[n+p]的取值范围.

分析 本题应先翻译向量语言，这样，问题（1）就转化为解方程组，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数了.

解 （1）设[n= x ， y ]，

又[m?n=-1]，有[x+y=-1].①

[∵]向量[n]与向量[m]的夹角为[34π]，

[∴m?n=m?n?cos34π=-1]，

[∴n=1]，则[x2+y2=1].②

由①②解得，[x=-1，y=0， 或 x=0，y=-1.]

[∴ n=-1 ， 0 或 n=0 ， -1].

（2）由[n]与[q]垂直知[n=0 ， -1]，

由[2B=A+C ]知，

[B=π3 ， A+C=2π3 ， 0

若[n=0 ， -1]，

则[n+p=cosA ， 2cos2C2-1=cosA，cosC.]

[∴ n+p2=cos2A+cos2C]

[=1+cos2A2+1+cos2C2=1+12cos2A+π3.]

[∵ 0

[∴ -1cos2A+π3<12].

[∴ 121+12cos2A+π3<54 ， ]

[即 n+p2∈12 ， 54 ， ∴n+p∈22 ， 52].

点拨 利用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变形求解，要注意解的范围与三角函数值等号之间的联系与影响，注意利用大边对大角来确定解是否合理，判断三角形的形状，必须从研究三角形的边与边的关系，或角与角的关系入手.