“放”得妙解纷呈，“收”得精彩无限——例谈一题多解教学中的“收”“放”策略

☉江苏省连云港市新坝中学 周 杨 乔华利

“一题多解”是数学学习道路上最为绚丽的一道风景.就教学价值而言，我们可以利用问题解法的开放性，在发散思维（“放”）与聚合思维（“收”）的结合训练中优化学生的思维品质，在对解法进行多角度的对比和优化中发展学生的元认知能力，在促进学生认知能力发展的同时，使学生的知识结构得到完善.

那么实际教学中，怎样的“收”、“放”操作，才能让“一题多解”的上述教学价值得到有效挖掘和充分体现呢？笔者在此结合一道例题的教学谈谈自己的一些浅见，与同行交流.

一、例题及简析

图1

简析：本题作为一道填空题，通常会被认为是一道“小题”.然而笔者认为，本题虽然题设简单，却有一定的思维含量.初中阶段学生对“圆”的认识限于“形”，对涉及坐标的直线问题多用“数”，本题将圆放入平面直角坐标系内，以点的坐标作为问题指向，题设中又暗含较多的特殊角，这使得问题体现出一定的综合性的同时，“入口”也变得比较开放，学生可以利用多种知识和方法来切入问题.另外，本题的难度与思维含量合适，既能给学生一定的问题空间，又容易在教学中取得较广的调动面.这些都决定了对本题的教学有必要“小题大做”！

二、教学中的“收”与“放”

1.在“百花争艳”的“放”中显化思想方法

每一个问题的解决过程中都悄悄地流淌着思想方法的潜流，教师的一个重要工作就是让这些思想方法清晰起来，明亮起来.有一种观点认为，数学思想方法在教学中应当多“意会”而不必“言传”.笔者认同这一点，但我们也应当承认的是，在教学实践中，特别是在具体问题解决的教学过程中，尽量让数学思想方法显化也是相当必要的.所谓“显化”，不是把数学思想方法空洞地挂在嘴上，而是指在具体的问题解决过程中将不同的思想方法具体化为不同的解题思路，再将不同的解题思路以具体的解答过程呈现出来.显然，如果能在同一个题目中对不同思想方法进行具体化呈现，带来的“显化”效果是更为突出的！

解法1（解析法）：如图2，设Rt△AOB的斜边AB的中点为M，则M是△AOB外接圆的圆心.

连接PM并延长交x轴于N点.

图2

直线OP的解析式为y=x.

因为P点是直线OP与MN的交点，所以列方程组：

解法2（解直角三角形法一）：设Rt△AOB的斜边AB的中点为M，则M是△AOB外接圆的圆心.

图3

于是∠OPM=∠MOP=∠AOP-∠AOM=45°-30°=15°，OM=PM=2.

延长PM，作OT⊥PM，垂足为T，则∠OMT=30°.

过P作PH⊥x轴，垂足为H.

解法3（解直角三角形法二）：如图4，作BS⊥OP，PH⊥x轴，垂足分别为S、H，连接PB.

因为∠AOP=45°，所以△BOS是等腰直角三角形.

图4

所以∠BPS=∠BAO=30°.

解法4（构造方程法）：如图5，连接PB、PA，作PH⊥x轴，垂足为H.

因为∠ABP=∠AOP=45°，AB是直径，所以△PAB是等腰直角三角形.

图5

如图6，连接PM、OM，作PH⊥x轴，垂足为H，作MR⊥PH，MT⊥OA，垂足分别为R、T.

图6

在Rt△POH中，∠AOP=45°，则∠MOP=∠MPO=15°，则∠MPR=∠MOT=30°.

连接PM并延长交x轴于N点（如图7）.

因为∠AOP=45°，所以∠AMP=90°.

所以△AMN∽△PHN∽△AOB.

图7

易得PH=OH.

解法7（全等变换法）：如图8，作PQ⊥y轴、PH⊥x轴，垂足分别为Q、H，连接PB、PA.

因为OP是∠AOB的平分线，所以PH=PQ，四边形OHPQ是正方形.

由∠AOB=90°，可得AB是圆的直径.

又因为∠ABP=∠AOP=45°，所以△PAB是等腰直角三角形，PA=PB.

所以Rt△PQB≌Rt△PHA（HL）.

图8

则有HA=BQ.

解法8（相交弦法）：如图9，设OP与AB的交点为T，作TN⊥OA，PH⊥OA，垂足分别为N、H.

图9

需要指出的是，在解法的教学呈现中，我们不应简单地求“多”，而应当让“多解”体现在不同的数学思想方法的运用，或者是解决方法体现不同的角度和高度.就本题而言，解法1作为“解析法”，体现的更多的是数形结合思想；解法2与解法3将问题转化为求线段的长，然后利用角度的特殊性将问题再转化为解直角三角形问题，体现的是化归与建构模型的思想；解法4设立未知数，将未知量构造到一个直角三角形中，运用勾股定理列方程，体现了方程思想的运用；解法5通过构造三角形全等转化未知量，体现了等量转化的思想；解法6和解法7分别运用了构造相似图形和全等图形，体现了几何变换的思想……当这些方法呈现在一起的时候，学生不仅看到了“百花争艳”的精彩，更真真切切地感受到每一种思想方法的具体存在与运用，对于初中生来说，在一个问题上呈现多种思想方法，就像一个植株上开出了多色的花来！这种对比是鲜明的，这种印象是深刻的，这种体验是无可替代的.

2.在集思广益的“放”中实现广泛的思维调动

数学课堂的一个永恒追求是广泛的思维调动.相对于那些解法封闭的问题，多解问题往往往更容易调动学生的积极性.以本题为例，笔者在一次阶段测验中选用它，测验的结果并不如人意，全班50名学生中，仅有8名学生正确解答了本题.在试卷讲评时，笔者发现8名学生中有4名学生采用解法1，有2名学生采用解法2；另两名学生分别采取全等变换法和构造方程的方法.几位同学的解法呈现之后，立即激发了其他同学对试题进行再思考.一段时间之后，各种新解法如雨后春笋般“冒”了出来.比如，当一名同学向大家讲解构造全等的方法之后，很快就有同学想到通过相似变换的方法，紧随其后，几种巧妙利用特殊角的方法就被其他同学想到，一时间，课堂上人人都参与进来，有人在相互交流；有人在独自沉思；有人眉头紧锁；有人眉开眼笑……

其实很多时候，学生之间还会形成一种相互启发的作用.就本题而言，大部分学生在考试的时候没能解决问题，但他们往往对问题都有了较多的思考，他们往往就是在某一个关键处受阻，一个节点没能打通.在课堂上，当某一位同学用一种方法击破这个节点的时候，往往能带来很好的启发作用，带来一种“连锁反应”.就像一个人惊喜地找到一个蘑菇的时候，其他人也就能很快地在它周围的土下找到成堆的蘑菇！教师要做的就是通过有效的课堂组织，为学生创造这样的课堂氛围，努力在这种集思广益的“生生互动”或“师生互动”中调动学生“挖出更多蘑菇”的积极性！比如说，解法3呈现之后，很快就有同学受其启发而提出如下两种新解法.

解法9：如图10，作AS⊥OP，垂足为S，连接AP.

图10

图11

解法10：如图11，作PH⊥x轴，垂足为H，设AB的中点为M，则M是圆心.连接PM，则∠AMP=90°，∠MPR=∠BAO=30°.

可以看出，上述两种解法其实就是在“解法3”的启发下，对“解直角三角形法”的再思考.笔者在实践中发现，在诸如此类的“一题多解”问题的教学中，初中生较强的表现欲在互动探究的过程中表现得淋漓尽致，思维的调动既体现出了广度，也体现出了深度.

3.在“殊途同归”的“收”中完善认知结构

由一个问题的条件或事实出发，从各个方面思考，寻求多种解法.这样的过程体现的是思维的发散性，一种思维的“放”；从各个方面去思考问题的过程中，多种方法最终要归结到一个问题的有效解决，并且我们总是力求用最为简捷有效的解决方法，这样的过程又体现了思维的“收”，即是一种聚合思维.事实上，问题解决往往是依赖于发散思维与聚合思维的有机结合：一方面要能广开思路，自由联想，提出各种解决问题的设想与方法；另一方面，又要善于筛选解题方法，能选用一种最好的方案或办法来解决问题.

就本题而言，首先应当引导学生认识到多角度获解的可能性.比如，我们可以想到用解析法求两条直线交点的坐标；我们可以想到圆中垂径定理的运用；我们可能由OP的特殊位置（∠AOP=45°）想到构造全等变换；我们还可能由线段间特殊的位置关系想到构造相似变换；我们还可以由题中特殊角想到解直角三角形……这是让思维尽可能地“放”，在这个“放”的基础上，学生还应当认识到这些不同的方法能“殊途同归”又体现了不同知识与方法之间存在着本质的关联，比如全等与相似、方程与函数之间特殊与一般的关系；“数”与“形”本质上的统一.这样的认识过程体现的是思维的“收”，“收”的过程，很大程度上就是不同知识沟通联系的过程，是个体内部认知结构发生“顺应”的过程.

4.在对比优化的“收”中发展元认知能力

即使在成功的解决问题之后，我们仍然需要思考：是否还有更为精致简洁的方法，或者原本的方法中是否存在着某种迂回从而可以进一步简化？这种思考方式是我们应当在数学教学过程中向学生不断渗透的.如何让学生产生这种努力寻求“最优化”的“心向”呢？笔者认为，解法对比就是一种最为有效的方法.我们容易发现，因为思维的惯性作用，个体对自己的解题过程往往很难作出有效的调整，而正是这种调整上的困难，使得我们在解决问题的时候陷入困境或者迷途难返.这也就是说，对自己的解题过程作出优化所需要的不仅仅是对问题的数学本质有更深的认识，更需要自我批判、自我反思、自我监控等元认知能力，而发展这种“元认知”能力的一个有效途径就是将学生引入解法对比中.有对比才会感受到“优化”的存在，感受到“优化”才会有自我的反思，有自我反思才会有自我批判与自我监控能力的形成与发展.

本题的教学中，笔者发现正确解答本题的学生中采用解法1（解析法）的最多，其次是解法2，通过课后交流发现，最初想到用解法2（包括没能成功的）的学生远远多于前者.随着新方法不断产生，我们很容易发现其实这两种方法都显得迂回烦琐，于是有一个问题凸显出来：为什么这两种方法迂回烦琐却被很多学生采用呢？笔者研究发现，这两种解题思路就其产生过程而言，都具有明显的“合理性”.以解法2为例，欲求P点的坐标，很容易想到求出OP的长，而OP作为圆中的一条弦，学生容易想到利用垂径定理；在构造出垂径定理常用的直角三角形之后（图3中的△MSP或△MOS），容易求出其中锐角（∠MPS或∠MOS）是15°，圆的半径是2，于是问题归结为能否利用这些条件求出直角边（PS或OS）的长.但是，很多学生就是“堵”在这里了：他们不能找到合适的方法来利用这个15°角，试图在垂径定理的基础上找到可利用的线段关系，也很难找到.从这个过程中我们容易发现，所谓解题思路的“合理性”，其实很大程度上又会表现为思维的定式作用，比如学生往往将“圆中求弦长”定式于垂径定理.如果在陷入困境之后及时返回起点再分析，也就容易发现题中涉及45°、60°、30°等更为特殊的角，利用这些特殊角的三角函数来解直角三角形，就可能想到解法3.解法3就比解法2显得更为简捷，这一点，学生在解法对比时很容易感受到.笔者在课堂上发现，当一个学生在课堂上向大家呈现解法3的时候，有很多学生惊呼：“我怎么就没想到呢！”同样，当解法5呈现出来的时候，解法4因为解方程过程的烦琐而黯然失色；当解法7巧妙地利用几何变换思想与方程思想使问题轻松获解时，全班同学一致叫好……这样的对比过程中，学生不由自主地产生了这样的感叹与思考：原来思路可以这样的开阔！我为什么就没想到呢？显然，这样的感叹与思考就是一种自我反思的具体表现.