Choquet积分与Sugeno积分的不等式关系

冯慧敏，李雪非，吕文静

（1.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002；2.河北农业大学 理学院，河北 保定 071001；3.河北大学 新校区管理与建设办公室，河北 保定 071002）

经典测度起源于几何度量，例如长度、面积、体积.经典测度是一个非负的可加集合函数，概率测度是经典测度的一种.在经典测度发展过程中，可加性成为一个争议的对象.在理想的、无误差的理想情况下，经典测度是适用的.而在现实中，测量误差是不可避免的.此外在一些涉及主观判断的问题中，比如从多个投资项目中选择一个进行投资，度量很显然不符合可加性的条件.因此出现了模糊测度，模糊测度用单调性代替了经典测度中的可加性.而以经典测度为基础的勒贝格积分不能适用于模糊测度，与模糊测度相应的是模糊积分［1－3］.Sugeno积分和Choquet积分是2种有代表性的、应用较多的模糊积分.在多指标决策中指标之间经常有交互作用存在，因此这类问题中模糊测度和模糊积分是合适的数学工具［4－9］.在此类问题中，Sugeno积分和Choquet积分中选择哪一个呢？这个问题需要结合当前问题的特点和积分的特点做选择.没有哪一种积分永远是最优的，2种积分各有特点及其适合的实际问题.而实际上在一定条件下，基于这2种模糊积分的决策没有区别.因为在多指标决策中，2种模糊积分满足一个不等式关系，即2种模糊积分值的差不超过1／4.根据该不等式可以认为，在一些情况下，依据2种模糊积分所做出的决策是一样的.

1 预备知识

在多指标决策中，定义模糊测度的集合属于有限集合，因此本文的讨论限于有限集合.先回顾一下模糊测度和模糊积分的基础知识［10－11］.

模糊测度是对经典测度（即可加测度）的推广.

定义1 设X＝｛x1，x2，…，xn｝为非空有限集合，P（X）为X 的幂集，集函数μ:P（X）→（－∞，＋∞），若集函数μ 满足下列条件：

1）μ（Ø）＝0（归零性）.

2）对任意A⊂X，有μ（A）≥0（非负性）.

3）对任意A⊂B，A⊂X，B⊂X，有μ（A）≤μ（B）（单调性），则称μ 为模糊测度，也称为单调测度.

当模糊测度满足μ（X）＝1时，称为正则模糊测度，通常在多指标决策中采用的都是正则模糊测度.

设函数f（x）为定义在集合X＝｛x1，x2，…，xn｝上的非负函数，f:X→［0，1］，μ 为定义在P（X）上的正则模糊测度.假设集合X 中的元素已经经过重排，使得0≤f（x1）≤f（x2）≤…≤f（xn）≤1.令Ai＝｛xi，xi＋1，…，xn｝，根据模糊测度的单调性，显然有1＝μ（A1）≥μ（A2）≥…≥μ（An）≥0.Sugeno积分和Choquet积分的定义如下.

定义2 函数f（x）关于模糊测度μ 的Sugeno积分定义为

定义3 函数f（x）关于模糊测度μ 的Choquet积分定义为

其中f（x0）＝0.

Sugeno积分是以取大、取小算子为基础，因而其光滑性较差，不便于进行解析分析.Choquet积分是以乘、加算子为基础，因而其光滑性较好，便于进行解析分析.而且当模糊测度退化为经典测度的时候，Choquet积分可以与勒贝格积分完全一致.

2种模糊积分均满足有界性，即

1.5 疗效判定指标[6] 痊愈：B超检测子宫大小、胎儿大小与孕周基本符合，BPD、FL及S/D比值都有明显改善，双侧RI均<0.8；有效：B超检测子宫大小、胎儿大小与孕周基本符合，BPD、FL、RI及S/D比值都有所改善；无效：B超检测胎儿发育不良或停止发育，BPD、FL、RI及S/D比值均无改善。

2 2种模糊积分的不等式关系

定理1［11］设X＝｛x1，x2，…，xn｝为有限非空集合，函数f 满足：f：X→［0，1］，μ 为定义在幂集P（X）上的正则模糊测度，则有

该定理表明，对于正则模糊测度，值域在［0，1］区间内的函数的Choquet积分和Sugeno积分的值相差不大.在多指标决策、群决策中，恰好可以满足定理的条件.下面对该定理进行证明.

证明 假设被积函数f（x）已经满足0≤f（x1）≤f（x2）≤…≤f（xn）≤1（如果不满足，可以对集合X 中的元素进行重排，使其满足）.令Ai＝｛xi，xi＋1，…，xn｝，显然根据模糊测度的单调性有1＝μ（A1）≥μ（A2）≥…≥μ（An）≥0.下面分6种情况分别证明.

证毕.

3 讨论

在专家系统、多分类器融合、多指标决策等类似问题中，多数都是使用正则模糊测度.此时被积函数f（x）在不同问题中，可有不同解释，如各个专家对于自身决策的把握程度、各分类器认为待分类对象属于各个类的概率（或可能性）、待评价目标与各个指标的符合程度.通常被积函数f（x）满足取值在［0，1］区间内的要求，因此Choquet积分和Sugeno积分的不等式关系适用于这些问题.该不等式说明，在一些情况下2种模糊积分的决策结果是一样的.下面举例说明：

例1：设有2个投资项目A，B，请专家分别对2个项目从低风险（x1）、高收益（x2）、可行性（x3）3个方面进行评估，专家的评分结果列于表1.项目负责人认为评价项目的各指标的重要性通过一个模糊测度表示，该模糊测度定义在指标集合上.

表1 专家对2个项目的评分Tab.1 Scores of two projects from experts

表2 指标的重要性（即模糊测度μ）Tab.2 Degree of criteria（fuzzy measureμ）

将专家从3个指标对项目A，B的打分分别看做被积函数，关于表2中的模糊测度求Choquet积分得

显然项目A 的总评分0.81高于项目B 的总评分0.21，因此最终的决策结果是项目A.根据定理1可知，如果采用Sugeno积分，则项目A 的总评分在区间［0.81－0.25，0.81＋0.25］内，即［0.56，1］（因为由模糊积分的有界性可知，积分最大取值为1.），而项目B 的总评分在区间［0.21－0.25，0.21＋0.25］内，即［0，0.46］（因为由模糊积分的有界性可知，积分最小取值为0）.即采用Sugeno积分时得到的决策结果仍然是项目A.2种模糊积分的决策结果相同.采用Sugeno积分时，实际计算的项目A，B的总评分分别为0.7，0.3.

定理1表明，对于多指标决策问题，当一种模糊积分的决策结果比较清晰时（0.81与0.21的差别比较大的情况），那么2种模糊积分的决策结果是一样的.此时不用费力地去选择模糊积分，而是应该着重研究、分析系统的其他方面，例如指标的增减、指标的重要性是否恰当等等.

4 结论

本文证明了在多指标决策、多分类器融合环境下Sugeno积分和Choquet积分之间的不等式关系.不等式表明在决策结果比较清晰时2种模糊积分的决策结果是一致的，此时应当将更多的精力用于指标的增减或者分类器的增减，以及模糊测度的定义方面.

以Sugeno积分和Choquet积分之间的不等式关系为基础，下一步可以围绕如何找到一个指标将决策问题分成2类，一类是2种积分的结果相同的问题，另一类是2种积分的结果不同的问题，并比较在结果不同的一类问题中，哪种积分的结果更合理.这些结果将对模糊积分的应用提供帮助.

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