区间值度量空间的紧性和仿紧性

陈桂秀，李生刚，赵 虎

1.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安 710062 2.青海师范大学 数学系，西宁 810008

区间值度量空间的紧性和仿紧性

陈桂秀1，2，李生刚1，赵 虎1

1.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安 710062 2.青海师范大学 数学系，西宁 810008

随着模糊集理论的不断发展和深入研究，由于客观事物的复杂性和不确定性以及人类思维的模糊性和有限性，人们往往不能明确地给出属性的信息量，即使大量的实验也不能给出属性值的具体数值，而只能给出一个区间范围，即以区间的形式来表示，于是产生了区间数这一概念。国内对区间数的研究主要以胡宝清教授、邓聚龙教授、徐泽水教授以及张兴芳教授为代表，均取得了一些很好的结果；国外早在1931年Young就开始了区间数的研究，以Moore[1-3]为代表的众多学者继续研究，均取得了满意的效果。

1 预备知识

下面给出一些关于区间数、区间值度量空间的基本概念、相关关系和运算。

则称ρ为X上的一个区间值度量，且称(X，ρ)为一个区间值度量空间。

注1.2映射ρ:X×X→I(R+)是X上的区间值度量当且仅当ρ-=p1◦ρ:X×X→[0，+∞)和ρ+=p2◦ρ:X×X→[0，+∞)都是 X上的度量，这里 p1和 p2分别是从 R2到 x和 y轴的投影。

2 区间值度量ρ诱导的拓扑Tρ具有的紧性

定 理 2.1 T1=T2=T3={W∈2X|若x∈W，则存在a≻0使得B(x，a)⊆W}，T3是X上的一个拓扑（称由X上的区间值度量ρ诱导的拓扑，记作Tρ）。

定理2.2(X，Tρ)是X上的可度量化拓扑。

反过来，对每个 Bρˆ(x，a)(x∈X，a∈(0，+∞))，B(x，a)⊆Bρˆ(x，a)。由此可知Tρ=Tρˆ，这里Tρˆ是度量 ρˆ诱导的 X上的拓扑。

推论2.1 (X，Tρ)是第一可数的T2空间。

证明 (1)⇒(2)，(2)⇒(3)，(3)⇒(4)类似于一般拓扑空间中的证明，只需证明(4)⇒(1)。

设(X，Tρ)是序列紧空间，A={Ai}为X的一个开覆盖，下面分三步来证明A有有限子覆盖：

步骤1存在区间数使得对于 X的子集A，只要diam(A)≺λ，A就一定包含于A的某一个元素之中，这里diam(A)=sup{ρ(x，y)|x，y∈A}。若不然，假设对于每个i∈Z+，存在 Ei∈2X使得(∀A∈A)。则对于每个i∈Z+，取 xi∈Ei。由 X是序列紧空间知序列{xn|n∈Z+}有一个子序列 xn1，xn2，…收敛于 X中的某个点 y。由于A是X的一个开覆盖，故存在A∈A使得y∈A，由定理2.1知存在实数ε＞0使得由于序列 xn1，xn2，…收敛于 y，所以存在正整数m，当i＞m时有取 k∈Z+使得 k＞m且从而有(∀z∈Enk)，这说明矛盾。使得 从而Un是G的一个加细。

3 区间值度量ρ诱导的拓扑Tρ具有仿紧性

注3.1本定理的证明参考了文献[9]。

4 结束语

关于区间数理论的研究与应用受到了众多学者越来越多的关注。本文研究了区间值度量诱导的拓扑所具有的紧性，并给出了一些等价关系及其证明，然后证明了该拓扑空间具有仿紧性。

[1]Moore R E.Interval analysis[J].New Jersey：Prentice Hall，1996.

[2]Moore R E.The automatic analysis and control of error in digital computation based on the use of interval number[M]. [S.l.]：John Wiley&Sons Inc，1965.

[3]Moore R E.Automatic local coordinate transformations to reduce the growth of error bounds in interval computation of solutions of ordinary differential equations[M].[S.l.]：John Wiley&Sons Inc，1965.

[4]刘旺金，何家儒.模糊数学导论[M].成都：四川大学出版社，1992.

[5]胡启洲，张卫华.区间数理论的研究及其应用[M].北京：科学出版社，2010.

[6]熊金城.点集拓扑讲义[M].2版.北京：高等教育出版社，1998.

[7]程吉树，陈水利.点集拓扑学[M].北京：科学出版社，2008.

[8]徐森林，胡自胜，金亚东，等.点集拓扑学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[9]Sönmez A.On paracompactness in cone metric spaces[J]. Applied Mathematics Letters，2010，23：494-497.

CHEN Guixiu1，2,LI Shenggang1，ZHAO Hu1

1.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China 2.Department of Mathematics,Qinghai Normal University,Xining 810008,China

The definition of interval-valued metric spaces is introduced,according to the definition of compactness and their related equivalent relations in general topological spaces,the compactness and a set of equivalent relations of induced topological space by interval-valued metric are proved,the paracompactness of this induced topological space is discussed in the paper.

interval number;interval-valued metric space;compactness;paracompactness

给出了区间值度量空间的概念，根据一般拓扑学中紧性的相关定义及其等价条件，证明了由区间值度量诱导的拓扑具有的紧性及其一系列等价关系，讨论了该诱导的拓扑空间具有仿紧性。

区间数；区间值度量空间；紧性；仿紧性

A

O189

10.3778/j.issn.1002-8331.1204-0678

CHEN Guixiu,LI Shenggang，ZHAO Hu.On compactness and paracompactness in interval-valued metric spaces.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：45-47.

国家自然科学基金（No.11071151）；陕西省自然科学基金（No.2010JM1005）。

陈桂秀（1972—），女，博士研究生，主要从事格上拓扑学与拟阵理论研究；李生刚（1959—），通讯作者，男，教授，博士生导师，主要研究格上拓扑学与拟阵理论。E-mail：shenggangli@yahoo.com.cn

2012-05-07

2012-08-13

1002-8331（2013）23-0045-03

CNKI出版日期：2012-09-06 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120906.0855.008.html