基于PSO算法角接触球轴承动态接触角的求解

王连宝，胡小秋，芮红锋

(南京理工大学 机械工程学院，南京 210094)

高档数控机床的进给系统必须具有良好的动态特性[1]。角接触球轴承是进给系统普遍使用的支承轴承，其动态特性直接影响进给系统的整体性能。如今，角接触球轴承的动态特性分析理论已经比较完善，主要的难点集中在轴承动态模型的求解方面，目前多选用Newton-Raphson法、Hook-Jeeve法和差分法等[2-4]。上述方法对迭代初值敏感，求解不易收敛[5]。与之相比，二次插值型粒子群优化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法对边界初值的设定没有严格的要求，具有很好的全局寻优能力。

1 轴承动态特性分析的简化模型

1.1 几何相容方程

对于内圈转动、外圈固定的角接触球轴承，受到联合载荷(轴向力Fa和径向力Fr)作用前后位于角位置ψj处的球心与内、外沟曲率中心的相对位置关系如图1所示。根据图1的变形几何条件得

图1 球心与内、外沟曲率中心的位置关系

(1)

(2)

式中：fi，fe分别为内、外沟曲率系数；δij，δej分别为内、外沟道的法向接触变形量；Dw为球直径；Kij，Kej分别为内、外沟道的接触刚度；Qij，Qej分别为内、外沟道的法向接触载荷；xaj，xrj，A′aj，A′rj为与球心和内、外沟曲率中心坐标相关的变量；j=1，2，…，Z；Z为球数。

1.2 内圈力平衡方程

在Fa和Fr作用下，轴承处于受力平衡状态，对内圈有

(3)

(4)

式中：αij，αej分别为内、外接触角。

1.3 动态模型简化前、后的比较

文献[2,5-6]中的动态模型包含一系列辅助方程和4Z+2个主方程，主变量较多且彼此耦合，增加了算法的复杂性，也降低了计算精度，需要对动态模型的主方程组进行简化并寻找新的算法。

与以往的动态模型相比，简化模型中增加了2Z个辅助方程，主方程数目减为2Z+2个，缩减了主变量个数，简化了适应度函数Fitness。

2 求解方法及流程

简化模型中变量Kij，Kej，Qij，Qej，δij，δej，xrj，xaj，A′rj和A′aj最终都是关于αij与αej的函数，其逻辑关系如图2所示。

图2 变量之间的逻辑关系

取一组接触角αij与αej为粒子元素，适应度函数Fitness由 (1) ～ (4) 式左边表达式组成，即

|Expr3|+|Expr4|，

当轴承转速不为零时，每个球受到离心力和陀螺力矩的作用，接触角按一定规律变化。研究表明，在一定的外加载荷作用下，随着转速的升高，内接触角逐渐增大，外接触角逐渐减小，且内接触角大于外接触角。所以，在算法中设定约束条件为αej<αij。仿真表明：根据变量的实际意义确定未知量的约束条件，既提高了计算精度，又缩短了收敛时间。

PSO算法具有求解优化问题的能力，但在处理复杂、多维变量多峰值的数学模型时仍然存在“早熟收敛”现象[6]，使得计算精度较低。为了改善这一问题，文中采用二次插值型PSO算法，该算法引入了基于二次插值的“早熟判断和处理”机制，算法在出现粒子早熟时会跳出局部最优，所以具有很好的全局优化和局部探索能力。角接触球轴承简化模型动态接触角的计算流程如图3所示。

图3 动态接触角的计算流程

3 计算结果与分析

为了验证简化模型的正确性和二次插值PSO算法程序的可行性与普适性，选择常规轴承SKF B218和高精密轴承SNFA VEX 6/NS为例，同时为了与已知文献[7-8]对比，下面仅计算轴承在不同轴向力和转速下的动态接触角。

3.1 SKF B218的分析

SKF B218的内、外圈与钢球材料均为GCr15钢，主要参数见表1。

表1 SKF B218主要参数

3.1.1 动态简化模型和算法的验证

当轴向力Fa=17.8 kN，转速n取不同数值时，内、外接触角的计算值与文献值[7-8]见表2。由表2可以看出，低速时内、外接触角的计算结果与文献值之间的相对误差很小，在±0.21%以内；随着转速的升高，计算误差略微增大，但仍然较低，基本上在±1.09%以内。这是因为在轴承转速较低时，实际内、外接触角的差值较小，程序可以设定较小范围(上、下边界初值的差较小)的接触角边界初值；而高速时，实际内、外接触角的差值增大，需要设定较大范围的边界初值，致使计算误差也偏大。

表2 计算值与文献值的对比结果

图4给出了轴承转速n=15 000 r/min，轴向力Fa取不同值时内、外接触角的文献值与计算值变化曲线。由图4可知，内、外接触角的计算值分别与对应的文献值变化趋势相一致；当轴向力较小时，内、外接触角的计算误差相对较大，达到±2.56%；随着轴向力的增大，计算误差减小，低至±0.31%。这是因为随着轴向力的增大，内接触角逐渐减小，外接触角逐渐增大，两者之间的差值呈现递减的变化趋势，所以当轴向力较大时可以设定较小范围的边界初值，降低计算误差。

图4 轴承动态接触角随轴向力的变化曲线

3.1.2 边界初值对计算结果的影响

轴承所受轴向力Fa=10 kN，转速n=5 000 r/min工况下，内、外接触角分别选定不同的边界初值时的计算结果见表3。由表3可以看出，随着边界初值设定范围的扩大，内、外接触角的计算结果没有一定的变化趋势，这是由于PSO算法中初始化种群具有随机性；并且，计算结果分别在[42.38°，43.45°]，[38.90°，40.13°]内微幅震荡，说明了此算法和程序具有很好的稳定性，边界初值对计算结果影响很小。

表3 不同初值下的计算结果(SKF B218) (°)

3.2 SNFA VEX 6/NS的分析

SNFA VEX 6/NS是一种高精密的高速混合陶瓷球轴承，尺寸较小，其套圈材料为GCr15钢，陶瓷球材料为Si3N4，主要参数见表4。

表4 SNFA VEX 6/NS的主要参数

当轴承转速n=1.0×105r/min，轴向力Fa取不同数值时的文献值[8]和计算值曲线如图5所示。由图5可知，内、外接触角的计算误差均在±4.31%以内，说明此算法对高精密轴承同样具有较高的计算精度。

图5 轴承动态接触角随轴向力的变化曲线

轴承在轴向力Fa=50 N，转速n=1.0×105r/min工况下，内、外接触角分别选定不同的边界初值时的计算结果见表5。

表5 不同初值下的计算结果(SNFA VEX 6/NS) (°)

由表5可以看出，内、外接触角的计算结果分别在[19.79°，20.72°]，[14.28°，15.27°]内小幅波动，说明了设定较大范围的边界初值对高精密轴承的计算结果影响不大，即上文算法适用于高精密轴承。

4 结论

(1)当轴向力一定时，随着转速的增大，内、外接触角的计算误差呈现递增的变化趋势；当转速一定时，随着轴向力的增大，计算误差呈现递减的变化趋势。

(2)在轴向力、转速变动范围较大时，内、外接触角的计算误差小，说明提出的角接触球轴承动态简化模型具有较高的正确性，应用二次插值型PSO算法进行求解具有很好的可行性与普适性。

(3)当轴向力、转速一定时，内、外接触角设定不同的边界初值范围，其计算结果均在较小区间内变动，说明该算法对动态简化模型的边界初值敏感性较低，具有很好的稳定性，适用于计算常规轴承和高精密轴承。