维修率可变多服务台服务同台机器的可修系统

王艳环，吕胜利

(燕山大学理学院，河北秦皇岛066004)

0 引言

拟生灭过程与矩阵几何解方法在复杂随机模型分析中得到广泛的应用，文献［1］给出了利用矩阵几何解方法研究可修排队系统的一种重要方法。文献［2－3］研究了两个修理工的M/M/2 可修排队系统，给出了系统的稳态状态概率，系统的稳态可用度及系统的稳态平均队长，并给出系统稳态概率存在的条件。文献［4－5］研究了多服务台可修系统的优化，模型假设多服务台实行一对一服务规则，用矩阵几何解法给出了相应的稳态性能指标。文献［6］研究了具有备用服务员的可修排队系统，限定了服务员备用休假及一对一的修复规则，讨论了修理工一对一修复故障服务台的情况，并给出了系统的稳态性能指标和数值结果。文献［7－8］讨论了具有止步、中途退出和同时休假的M/M/c/N 排队系统，故障服务台排队规则为系统中等待的顾客过多则可能不进入系统，而进入队列中的顾客也可能因为等待的不耐烦而没有接受服务就离开系统，利用分块矩阵的解法求出系统稳态概率的矩阵解。文献［9］通过拟生灭过程的方法，研究了不同服务率两服务台的稳态平衡条件，并给出了稳态概率向量的矩阵几何解。文献［10］利用矩阵几何解的方法，从可变修复率角度对可修系统进行了优化分析，并讨论了可修系统的稳态性能指标和数值结果。

目前，多数文献从修理工个数、服务台数、排队规则和修复率变化上进行讨论，深入的研究了可修排队模型的排队理论和可靠性理论，但是大量可修排队系统的模型都是从一对一服务角度进行研究。现实生活中，为充分利用现有资源或避免服务台闲置，会出现多服务台同时服务一台故障机器的情况，因此，基于多对一服务规则的可修系统有待进一步研究。

1 模型描述

本文研究服务台可能发生故障的可修排队系统。系统中有N 台机器，机器随时可能发生故障。R个服务台为故障机器提供维修服务，服务台随时可能失效，失效率为α(服务台空闲仍会失效)。c(1 ≤c ≤R)个可靠修理工负责修理失效服务台，修复率为β。

(Ⅰ)故障机器按照参数为λ 的泊松过程到达。机器的使用寿命和被服务时间及服务台的使用寿命和被修理时间均为负指数分布。服务过程和故障机器的到达过程相互独立。机器发生故障后由服务台提供维修服务，每个服务台同时只能维修一台故障机器，但一台故障机器可同时被多个服务台维修。第一台故障机器进入服务系统后，所有有效服务台同时开始维修工作，当有新的故障机器进入系统时，从占用有效服务台多于一个的故障机器中分出一个服务台对其进行维修，直至每个被服务的故障机器只有一个服务台为其服务。

假设每个服务台的维修率为μ。当多个服务台服务同台故障机器时，服务台之间会相互影响，各自的维修率会发生变化。此时，服务台维修率μn定义为

此时，若再有故障机器到达，或有正在进行维修工作的服务台失效，则新到达的或被中断服务的故障机器排队等待，最先被中断服务的故障机器排在队首。当一个服务台完成服务任务后，若有故障机器等待服务，则立即对其进行服务;否则，该服务台参与服务系统中最先进入的且正在被维修的故障机器。

(Ⅱ)服务台可能随时发生故障。服务台失效后立即排队等待修理，修理工负责修理失效服务台且相互独立，同一服务台只能被一个修理工修理。服务台修复如新且立即开始工作，维修系统中等待维修的故障机器或维修系统中最先进入的且正在被维修的故障机器，若系统中无故障机器则空闲。

(Ⅲ)失效服务台数少于修理工人数时，失效服务台立即被修理;否则，失效服务台等待修理。失效服务台的到达服从泊松分布且先到先服务。

2 矩阵求解

系统的状态空间为{(i，n):i = 0，1，…，R;n = 0，1，…，N}，其中，i 为系统中的失效服务台数，n 为系统中的故障机器数。做如下规定:

p0(n)≡服务台均正常时，系统中故障机器数为n 的概率;

pi(n)≡失效服务台数为i 时，系统中故障机器数为n 的概率;

pR(n)≡服务台都失效时，系统中故障机器数为n 的概率。

转移概率矩阵Q 为

其中，

Ai，Bi，Ci均为N +1 阶方阵，I 是N +1 阶单位阵。且有

设P 表示Q 的稳态概率向量，

其中，Pi= {Pi(0)，Pi(1)，Pi(2)，…，Pi(N)}，0 ≤i ≤R，Pi为1 × (N +1)阶向量。

求解稳态方程PQ = 0 ，可得以下等式

通过简单的替换可得

其中，

又有

3 优化分析

设系统性能指标为:L0≡系统中服务台均正常时，故障机器数平均值;Li≡系统中失效服务台数为i 时，故障机器数平均值;L ≡系统里故障机器数平均值;Lq≡队列里故障机器数平均值;E［O］≡系统里正常工作机器数平均值;E［D］≡系统里失效服务台数平均值;E［I］≡系统里空闲服务台数平均值;E［B］≡系统里繁忙服务台数平均值;O.U. ≡服务台利用率;M.A. ≡机器利用率。

表达式如下:

利用所给性能指标，建立单位时间内的平均费用函数，计算维修率μ 为多少时，费用函数最小。下面引入费用参数:C1为单位时间内每台故障机器等待维修的费用;C2为单位时间内每台故障机器被维修时费用;C3为一台空闲服务台单位时间费用;C4为一台服务台忙时单位时间内的费用;C5为一台失效服务台单位时间内费用。

可得单位时间内平均费用函数为

在该模型中，若改变系统中服务台维修率μ，系统各性能指标则会受到一定影响。设N = 5，R = 3，c = 2，α = 0.1，β = 6.0，λ = 0.6，C1= 25，C2= 20，C3= 15，C4= 15，C5= 18 。利用式(1)～式(5)和Matlab 编程求解不同维修率时的稳态概率，进而可得系统各性能指标，然后再利用式(6)计算不同维修率时，单位时间内的平均费用。最后，利用Matlab 对维修率μ 和单位时间内的平均费用F(R)进行插值拟合，结果见图1。

图1 单位时间内平均费用与维修率间的关系

从拟合数据可以得出:当μ =1.3 时，F(R)有最小值73.752 5 元。

4 结束语

文中建立了维修率可变的多服务台同时服务同台故障机器的可修排队模型，利用矩阵方程求解法给出了稳态概率向量，通过数值算例分析了服务台维修率对模型的具体影响。本模型可以应用在港口集装箱装货等类似问题中，不仅考虑到多台装卸车对同一个集装箱进行装车，还考虑到装卸车装箱率间的相互影响，更具有实际意义。

［1］ 田乃硕，岳德权.拟生灭过程与矩阵几何解［M］.北京:科学出版社，2002:252－263.

［2］ 吕胜利，李静铂，岳德权.两个修理工的M/M/2 可修排队系统［J］.数学物理学报:A 辑，2008，28(6):1109－1118.

［3］ Al-seedy R O.A Transient Solution of the Non-truncated Queue M/M/2 with Balking and An Additional Server for Longer Queues［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，156(3):763－769.

［4］ Liu S Q，Lv S L，Wang D H. Optimization Analysis of Machine Repairable System［C］// 2009 Chinese Control and Decision Conference.2009:4925－4929.

［5］ 吕胜利，刘书庆，王德华.多服务台可修系统的优化分析［J］.数学的实践与认识，2011，41(1):101－108.

［6］ 岳德权，马金旺，马明建，等.具有备用服务员的可修排队系统分析［J］.山东大学学报:理学版，2009(3):39－44.

［7］ Sharma R R，Rai R C.Optimal Us Services on Express Basis in the Case of Balking and Reneging［J］.European Journal of Operational Research，1993，66:113－123.

［8］ Yue D，Yue W.Advanced in Queuing Theory and Network Applications［M］.New York:Springer，2009:165－180.

［9］ 余君，岳德权，田瑞玲.两个不同服务台的可修排队系统的矩阵几何解［J］.应用数学学报，2008，31(5):894－900.

［10］ 吕胜利，刘书庆，肖欣.具有可变修复率的M/M/R 可修系统的优化分析［J］.运筹与管理，2010，19(4):95－107.