火炮身管烧蚀磨损的灰色预测模型

孟翔飞，王昌明，何博侠，陆建山，胡伟伟

(1.南京理工大学 机械工程学院，南京 210094;2.常熟理工学院 电气与自动化工程学院，江苏 常熟 215500)

火炮身管的烧蚀磨损引起内膛结构变化，从而使火炮内弹道性能发生变化，最终它将造成初速、射程、精度的下降，使其无法满足武器使用的弹道性能要求，终止身管的使用寿命［1］。为此，在掌握火炮身管内膛烧蚀磨损特点的基础上，建立了反映火炮身管内膛烧蚀磨损特点的数学模型，就可以准确量化火炮的内弹道性能变化，这对正确评估火炮的寿命状态、保证火炮的使用效率十分重要。

文献［2］中提出采用BP 神经网络的方法建立数学模型来计算Δd，文献［3］中使用了多元线性回归方法来研究Δd与内弹道参量的相关性，文献［4］中提出了基于最小二乘支持向量机的火炮特性模型，建立了火炮剩余寿命评定模型。文献［5］中利用经典内弹道理论建立了弹丸初速下降量与炮膛内径磨损量计算模型，进而预测了身管寿命。本文拟采用灰色系统理论建模对火炮身管内径磨损量及身管寿命终止时的最大射弹数进行预测。通过建立的灰色预测模型，在少量身管内径烧蚀磨损测试数据的基础上，利用灰色预测得到身管内径磨损量与射弹数的数学关系式，可以对火炮身管寿命进行准确的预测。

1 火炮身管烧蚀磨损规律及建模分析

火炮身管内膛的烧蚀磨损主要可以归纳为热、化学和机械因素。磨损现象最严重的地方是在膛线的阳线表面和靠近膛线的起始段。西方国家常以膛线起始部因烧蚀、磨损引起的内膛扩展量作为身管寿命的评价标准［6］。美国的琼斯-布莱特巴特在对现有的37 ～203 mm 火炮试验性能进行统计的基础上，提出火炮寿命终止时起始部最大径向耗损量Δdmax一般为原阳线直径的3.5% ～5%。

随着火炮不断进行实弹射击，火炮身管内膛的烧蚀磨损逐步加剧。尽管火炮身管内膛烧蚀磨损的程度与诸多因素有关，但火炮内弹道性能的改变量直接与火炮的烧蚀磨损程度有关，而与身管内膛是如何烧蚀磨损到这种程度的过程无关。取膛线的某条阳线起始部位为检测固定点，当该固定点位置的身管内径烧蚀磨损Δd 达到或超过规定最大值Δdmax时，内弹道性能变坏，火炮身管寿命终止，此时的火炮射弹数为最大射弹数n。因此，如果能够准确的检测或预测出Δd变化情况，建立Δd=f(n)的数学关系式，就可预知火炮身管寿命的终止时的最大射弹数n，这可大大提高火炮的实用性能。

2 灰色预测模型的建立

2.1 灰色系统预测可行性分析

部分信息已知、部分信息未知的系统称为灰色系统，灰色预测是在已知一定数据的前提下，对未来数据进行有效预测的方法，其优点在于通过生成灰色过程把原始数列的随机性弱化，规律性加强［7］。

火炮身管内径烧蚀磨损Δd 受诸多因素的影响，存在不确定性，因此可以认为是属于灰色系统的范畴，可以借助灰色预测在已知少量Δd 测试数据的前提下，对未来数据进行有效预测。

2.2 灰色预测模型的确立

灰色系统理论中，经典的预测模型为灰色GM(1，1)模型，但该模型是一种呈指数变化的单调序列模型，适合于短时间内时效性要求较高的数据预测。而对于身管寿命来说，是一种中长期变化的过程，其烧蚀磨损增量也存在上升和下降的波动变化关系，因此灰色GM(1，1)模型对于中长期的火炮烧蚀磨损量及身管寿命的预测存在很大的误差。

而灰色Verhulst 模型主要用来描述具有数据摆动或饱和状态的过程，该模型对于火炮身管烧蚀磨损量的灰色预测从系统上是契合的，其更能适应火炮身管烧蚀磨损变化受众多因素影响的波动原始序列，在应用范围和预测精度方面都要优于GM(1，1)模型或其它模型。

通过以上分析，本文提出采用灰色Verhulst 模型，以射弹数为时间序列，建立火炮身管烧蚀磨损的中长期预测模型。

2.3 传统的灰色Verhulst 模型

定义1 设X(0)为原始数据序列:

且x(0)(k)≥0，k=1，2，…，n。其1 -AGO 序列X(1)为:

Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列:Z(1)= (z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n))，其中，z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1))，k=2，3，…，n。

定义2 称

为灰色Verhulst 模型。

定义3 称

为灰色Verhulst 模型的白化方程。

则Verhulst 白化方程的解为

即为传统灰色Verhulst 模型的时间响应式。

由式(3)可知，灰色Verhulst 模型的精度取决与参数a，b，式(1)和式(2)分别为灰色Verhulst 模型的差分方程与微分方程，把式(1)估计所得的参数a，b 值代入式(2)便可得到灰色Verhulst 模型的时间响应式。可见，式(1)的准确性直接影响到最终的预测结果。上述建模中，式(1)和式(2)的关系可根据灰导数的信息覆盖原理，分别以x(1)的一阶差商x(0)(t)覆盖dx(1)/dt，以z(1)(t)覆盖x(1)(t)。并直接代入到式(2)中得到式(3)。很显然，这种处理方法在建模机理上割断了差分方程与微分方程的必然联系。本文将提出一种优化的灰色Verhulst 模型使得差分方程与微分方程中所对应的参数能够紧密联系。

2.4 优化的灰色Verhulst 模型

由上述灰色模型的建模思想可知原始数据的一阶累加生成序列的光滑拟合曲线为x(1)(t)，根据梯形公式，x(1)(t+1)可近似表示为

由累加定义，可得

根据式(4)和式(5)，有

由式(2)，即传统灰色Verhulst 模型的白化方程，有

将式(7)中的2 个等式相加，可得

联立式(8)与式(6)，有

根据式(9)，可得优化的灰色Verhulst 模型，表达式为

引理1 设X(0)，X(1)，Z(1)如定义1 所述，令

1)优化的灰色Verhulst 模型白化方程的解为

2)优化的灰色Verhulst 模型的时间响应式为

3 预测模型的数据验证

为了检验优化的灰色Verhulst 模型精度，对表1 提供的某型火炮身管固定点内径烧蚀磨损数据进行实例验证。

1)对表1 建立传统灰色Verhulst 模型可以求得参数为

于是得白化方程为

取x(1)(0)=x(1)(1)=2.04，可得传统的灰色Verhulst模型的时间响应式

2)对表1 建立优化的灰色Verhulst 模型可以求得参数为

于是得白化方程为

取x(1)(0)=x(1)(1)=2.04，可得优化的灰色Verhulst模型的时间响应式

表1 某型火炮身管固定点内径烧蚀磨损量Δd与射弹发数n 数据

由表2 可以看出，优化的灰色Verhulst 精度要高于传统灰色Verhulst 模型，在模拟、预测方面更具优势。当预测值Δd≈Δdmax时，此时的n 就是身管寿命终止时的最大射弹数。

表2 两种模型的预测值与实际值比较

4 结束语

优化的灰色Verhulst 预测模型能够大量减少试验的射弹数，应用少量的试验数据就可大致确定火炮的寿命终止最大射弹数，因此经济性好又符合作战的要求。通过应用此模型对某型火炮进行计算，结果表明预测计算是可行有效的。

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