非伸展映像与非扩张映像在Hilbert空间中的弱收敛定理

张 焕，张 芳

（天津工业大学理学院，天津 300387）

非伸展映像与非扩张映像在Hilbert空间中的弱收敛定理

张 焕，张 芳

（天津工业大学理学院，天津 300387）

给出了非伸展映像的概念，并且在Hilbert空间中证明了非伸展映像与非扩张映像不动点的弱收敛定理.所得结果改进和拓展了Osilike和Isiogugu以及其他作者的相关结果.

Hilbert空间；k-严格伪非伸展映像；非扩张映像；遍历定理；弱收敛定理

2008年，Kohsaka[1]和Takahashi[2]介绍了一种重要的映像叫做非伸展映像，并且Kurokawa和Takahashi给出了关于非伸展映像在Hilbert空间中的弱收敛与强收敛定理的证明.而Osilike与Isiogugu[3]则是将Kurokawa和Takahashi文章中的非伸展映像拓展为更广泛的算子——k-严格伪非伸展映像，并且同样给出了很好的证明，同时证明了结论“每一个非伸展映像都是k-严格伪非伸展映像”.本文是在Osilike与I-siogugu文章的基础上增加了一个算子——非扩张映像，即将非扩张映像与k-严格伪非伸展映像结合在一起证明弱收敛到不动点.

1 预备知识

映射S是C到C的一个非扩张映像，且对于所有的x，y∈C满足‖Sx-Sy‖≤‖x-y‖.

设E是一个实光滑严格凸并且自反的Banach空间，j表示E的对偶映像，C是E的非空闭凸子集，如果对于所有的x，y∈C满足φ（Tx，Ty）+φ（Ty，Tx）≤φ（Tx，y）+φ（Ty，x），这里φ（x，y）=‖x‖2-2〈x，j（y）〉+‖y‖2，∀x，y∈E.则映像T叫做C到C的非伸展映像.

如果E是一个实Hilbert空间，则j是恒等映射φ（x，y）=‖x‖2-2〈x，y〉+‖y‖2，∀x，y∈E.那么如果C是实Hilbert空间的一个非空闭凸子集，则T是非伸展的，则有2‖Tx-Ty‖2≤‖Tx-y‖2+‖Tyx‖2∀x，y∈C，并且不等式等价于‖Tx-Ty‖2≤‖xy‖2+2〈x-Tx，y-Ty〉，∀x，y∈C.

设H是实Hilbert空间，定义一个映像T∶D（T）⊆H→H是k-严格伪非伸展映像，如果存在k∈[0，1），使得‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2+k‖x-Tx-（y-Ty）‖2+ 2〈x-Tx，y-Ty〉对所有的x，y∈D（T）成立.

引理1设H是一个实Hilbert空间，则有下面的结论

2 主要定理与证明

3 结束语

本文的主要定理推广了Osilike与Isiogugu的结果，但只是探讨了弱收敛的问题，对于强收敛的问题还需进一步研究.

[1]KOHSAKA F，TAKAHASHI T.Fixed point theorems for a class of nonlinear mappings relate to maxi-mal monotone operators in Banach spaces[J].Arch Math（Basel），2008，91：166-177.

[2]KOHSAKA F，TAKAHASHI T.Existence and approximation of fixed points of firmly nonexpansive type mappings in Banach spaces[J].SIAM J Optim，2008，19：824-835.

[3] OSILIKE M O，ISIPOGUGU F O.Weak and strong convergence theorems for nonspreadingtype mappings in Hilbert spaces[J].Nonlinear Anal，2011，74：1814-1822.

[4]TAKAHASHI W，TOYODA M.Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings[J].J Optim Theory Appl，2003，118：417-428.

[5]AOYAMA K，KIMURA Y，TAKAHASHI W，et al.Approximation of common fixed points of a countable family of nonexpansive mappings in a Banach space [J].Nonliear Anal，2007，67：2350-2360.

[6] XU H K.Iterative algorithms for nonlinear operators[J].J Lond Math Soc，2002，66：240-256.

[7]张 芳.非扩张映像的Ishikawa型混杂迭代方法的强收敛定理[J].天津工业大学学报，2007，26（3）：73-75.

[8]秦小龙，苏永福，李丽华.复合Halpern迭代逼近非扩张映像不动点[J].天津工业大学学报，2006，25（6）：78-81.

Weak convergence theorems for nonspreading-type mappings and nonexpansive mappings in Hilbert spaces

ZHANG Huan，ZHANG Fang
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The notion of nonspreading-type mappings is presentecl and the weak convergence theorem of fixed point for nonspreading-type mappings combined with nonexpansive mappings in real Hilbert spaces is proved.The results generalize and improve the recent results of Osilike and Isiogugu and some others.

Hilbert spaces；k-strictly pseudononspreading mappings；nonexpansive mappings；mean ergodic theorem；weak convergence theorems

O177.1

A

1671-024X（2013）02-0086-03

2012-06-11

国家自然科学基金资助项目（11071279）

张 焕（1987—），女，硕士研究生.

张 芳（1974—），女，硕士生导师.E-mail：zhangfangsx@163.com