带非线性边界的p-Laplacian问题的多重解

刘向平， 章国庆

（上海理工大学理学院，上海 200093）

带非线性边界的p-Laplacian问题的多重解

刘向平， 章国庆

（上海理工大学理学院，上海 200093）

研究了外域空间上一类带非线性边界的p-Laplacian问题多重解的存在性.利用极值原理和山路引理，证明了带非线性边界的p-Laplacian问题至少存在2个非平凡解.

多重解；非线性边界；山路引理

1 问题的提出

几何学中的一些问题都与带非线性边界的p-Laplacian方程相关，如微分几何中的标量曲率问题和Yamabe问题［1-2］可导出类似的如下带非线性边界条件的p-Laplacian问题

1992年，Yu［3］研究了在外域上带Dirichlet边界的p-Laplacian问题.分别对超线性、次线性、超线性加次线性这3种情况进行了讨论，得到了非平凡解的存在性和正则性.2001年，Montefusco和Radulescu［4］利用山路引理证明了在无界区域上的带非线性边界的p-Laplacian问题至少存在1个非平凡解.2008年，Filippucci和Pucci［5］证明了外域上带非线性边界的p-Laplacian问题至少存在1个非平凡解，并给出了解的正则性.但对于此类问题多重解的研究并不多见，本文利用山路引理和在局部区域找极小值点的方法，证明了问题（1）至少有2个非平凡解，得到了多重解的存在性.

2 预备知识

3 主要定理的证明

利用山路引理和在局部区域找极小值点的方法证明定理1.

［1］ Rossi J D.El l iptic problems with nonl inear boundary conditions and the Sobolev trace theorem［M］.New York：Elsevier，2005.

［2］ Druet O，Hebey E.El l iptic equations of Yamabe type［J］.International Mathematics Research Surveys，2005，1（1）：1-113.

［3］ Yu L S.Nonl inearp-Laplacian problems on unbounded domains［J］.Proc A merican Mathematical Soc，1992，115（4）：1037-1045.

［4］ Momtefusco E，RadulescuV.Nonl ineareigenvalue problems forquasi l inearoperatorsonunbounded domains［J］.Nonl inear Differ Equ Appl，2001，8（2）：481-497.

［5］ Fi l ippucci R，Pucci P，Radulescu V.Existence and nonexistence results forquasi l inearel l ipticexterior problems with nonl inear boundary conditions［J］. Com m Partial Differ Eqations，2008，33（3）：706-717.

［6］ Pfluger K.Compact traces in weighted Sobolve spaces［J］.Analysis，1998，18（1）：65-83.

［7］ Pfluger K.Existence andmultipl icityof solutions to ap-Laplacian equationwith nonl inear boundary conditions［J］.Electronic Journal ofDifferential Equations，1998（10）：1-13.

［8］ Diaz J I.Nonl inear partial differential equations and free boundaries［M］∥Research Notesin Mathematics. Boston：Prentice ltal l，1986.

（编辑：石 瑛）

M ultiplicity Solutions forp-Laplacian Proble m s with N onlinear Boundary Conditions

LIU Xiang-ping， ZHANG Guo-qing
（College of Sciences，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

The existence of multiple solutions for a class ofp-Laplacian problems with nonlinear boundary conditions on exterior domain was investigated.Using extremum principle and mountain pass lem ma，the existence of at least two nontrivial solutions forp-Laplacian equations with nonlinear boundary conditions was proved.

m ultiplicity solutions；nonlinear boundary conditions；Mountain Pass Lem m a

O 175.25

A

1007-6735（2013）05-0449-03

2012-07-18

上海市自然科学基金资助项目（11ZR1424500）；上海市一流学科建设资助项目（X T K X2012）

刘向平（1987-），男，硕士研究生，研究方向：偏微分方程.E-mai l：l iuxp83355650＠yeah.net

章国庆（1973-），男，副教授，研究方向：偏微分方程.E-mai l：shzhangguoqing＠126.com