随机Navier-Stokes方程的近似最优控制问题

王建玲，张启敏

(1.中国矿业大学银川学院 机电动力与信息工程系，银川 750011;2.宁夏大学 数学计算机学院，银川 750021)

0 引言

随机微分方程被广泛应用于经济、人口控制和流体力学等领域［1-2］。尤其对Navier-Stokes方程的研究更是许多学者研究的热点问题。例如:文献［3］给出了随机Navier-Stokes方程最优控制存在的充分必要条件。文献［4］研究了随机Navier-Stokes方程数值解的收敛性。文献［5］讨论了随机Navier-Stokes方程的脉冲控制。文献［6］给出了随机Navier-Stokes方程存在最优控制和ε-最优控制的条件。然而，对于随机Navier-Stokes方程的近似最优控制的研究却不多见。本文研究了随机Navier-Stokes方程的近似最优问题，证明了近似最优存在的充分条件。本文得到的结论是文献［3-6］的扩展。

本文讨论如下随机Navier-Stokes方程:

1 预备知识

记B(u)=B(u，u)，H是Hibert空间，V是Sobolev空间，V'是V的对偶空间，且V⊂H⊂V'。H空间的内积记为(·，·)，空间V和V'的内积记为＜·，·＞。

2 近似最优的充分条件

因此，由(11)式、(15)式和Holder不等式即得命题成立。

3 结语

本文研究了随机Navier-Stokes方程的近似最优控制问题。通过Ito^公式，哈密顿函数，伴随方程以及极大值原理，给出了近似最优控制存在的充分条件。

［1］张启敏，聂赞坎.一类随机人口发展系统的指数稳定性［J］.控制理论与应用，2004，21(6):907-909.

［2］Zhang QiMin，ZhangWeiGuo，Nie ZanKan.Convergence of the Euler scheme for stochastic functional partial differential equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2004(155):479-492.

［3］乌仁，张启敏.随机Navier-Stokes方程最优控制存在的充分必要条件［J］.长春大学报:2008，18(4):5-9.

［4］张磊，张启敏.随机Navier-Stokes方程数值解的收敛性［J］.应用数学，2008，21(3):504-509.

［5］Menaldi J.L.，etal.Impulse control of stochastic Navier-Stokes equations［J］.Nonlinear Analysis，2003(52):357-381.

［6］Hannelore Lisie.Existense of optimal andε-optimal control for the stochastic equation［J］.Nonlinear Analysis，2002(51):95-118.

［7］Huang，J.，etal.Near-optimal control problems for linear forward-backward stochastic system［J］.Automatica，2009，11(16):1-8.

［8］K.Bahlali，etal.Necessary and sufficient conditions for near-optimality in stochastic control of FBSDEs［J］.System and Control Letters，2009，10(5):1-8.