永磁同步电机的混沌模型及其控制器设计

吴凤娇，王卫玉，商玉娟，刘晨晨，门成尧

（西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西杨凌 712100）

0 引言

永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）作为一种发展非常迅速的电机，越来越引起人们的广泛关注。这与其小体积、轻便、高效率的优点是分不开的，永磁材料和控制技术的迅速发展也促进了PMSM 的应用，因而研究PMSM 的特性具有很重要的意义。

非线性是产生混沌的必要条件，PMSM 的数学模型是一种典型的非线性系统，因此可以推测PMSM 中可能会产生混沌运动[1-2]，相关研究学者已经对PMSM 的特性进行了诸多研究，并取得了很多成果。例如，采用混沌分析的经典分岔理论，张波等[3]对PMSM系统进行了复杂的动力学分析，从理论上证明PMSM 强非线性系统在一定条件下会呈现出极限环和混沌吸引子等非常丰富的动态行为。Jing[4]等对气隙非均匀的PMSM 系统进行了Hopf 分岔动态行为研究。Li[5]等研究了永磁同步电机的复杂动力学行为，如Poincare 映射、Lyapunov 指数及容量维等。

永磁同步电机的混沌运动是有害的，应该设计相应的控制器予以消除。人们对于如何控制混沌开展了大量的研究，并已经设计出许多控制方法，包括线性反馈控制方法、模糊控制方法、滑模控制方法以及主动控制方法等[6-10]。当然对于不同的混沌系统，可以采用不同的方法进行控制，每种方法也有其优缺点，应该在实际应用中进行检验。

笔者通过数学分析推导，设计方便且容易实现的线性反馈控制器，将永磁同步电机控制到期望的运行点，从而消除系统的混沌现象，使系统达到一稳定状态。

1 永磁同步电机的混沌数学模型

永磁同步电机的无量纲数学模型如下[4]：

为方便研究，取x1=id，x2=iq，x3=w，a=γ 和b=σ 将永磁同步电机的数学模型（1）改写为下式：

取a=20，b=5.46，做出系统的相轨迹图如图1所示，可以看出，系统含有混沌吸引子。

2 线性反馈控制器设计

2.1 线性反馈同步控制机制

定义如下的非线性混沌系统：

为对（3）式进行控制，加上控制器后可得：

令u=x-x0，则受控系统为：

令X=x-x0，则式（5）可写为：

其中：F=（f1，f2，…，fn）T，x0=（x01，x02，…，x0n）T，x=（x1，x2，…，xn）T，u=（u1，u2，…，un）T为N 维控制向量，设计的目标就是通过控制线性反馈参数K 来实现将系统控制到稳定运行状态。

图1 系统的相轨迹图

2.2 受控系统的数学模型

由式（2）知系统加上控制器后的数学模型为

其中a=20，b=5.46，K1u1、K2u2、K3u3为加入的控制输入，K1、K2、K3为控制参数。u1、u2、u3为：

将式（8）代入式（7）得：

根据文献[11]，当取控制参数K>max（λ1，λ2，λ3）时，可以将混沌系统通过线性反馈控制方法控制至稳定状态。

2.3 将系统控制到平衡点

固定控制参数K=18，在平衡点S（0，0，0）时系统（9）对应的Jacobian矩阵为：

故特征方程为：

图2 受控后x1时域图

通过求解上式可得系统（9）在平衡点S 的特征根为：

λ1=-31.915 2，λ2=-10.544 8，λ3=-19.000 0。由于λ1、λ2、λ3均小于零，即受控系统（9）渐近稳定并趋于平衡点S。

采用Matlab 数值模拟来验证所设计控制器的有效性，利用线性反馈法控制系统达到稳定状态的仿真结果如图2～图4所示，系统的运动轨迹迅速被稳定到了平衡点S（0，0，0）。

图3 受控后x2时域图

图4 受控后x3时域图

3 结论

首先给出了永磁同步电机的数学模型，通过相轨迹曲线得知系统在一定条件下存在混沌运动现象。然后利用线性反馈控制方法为永磁同步电机设计了相应的线性反馈控制器，将系统从混沌态控制到稳定状态。并采用Matlab 数值仿真证实了该控制方法的可行性，仿真结果表明线性反馈控制方法用于控制该混沌系统的快速性和有效性，更好的控制方法有待更深入地研究。

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