热爱数学学习 享受数学快乐

沈国新

我国著名数学家华罗庚教授名言：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学.”可见数学就在我们身边.本文就《整式乘法与因式分解》谈一谈生活中的数学，应用数学帮助解决学习和生活中的一些问题.

一、 数学就在我们身边

例1 课本习题3.4第1题，如图，求两个正方形图形中草坪的面积，比较它们的大小，你发现了什么？

解：由图1知：草坪面积=202-2×20×a+a2=400-40a+a2.

由图2知：草坪面积=（20-a）2.

所以两个正方形图形中草坪的面积相等.

说明：1. 本题较好地体现了完全平方公式的应用；

2. 解题方法是把中间的两个空白部分的图形通过平移的方法平移到原正方形的两边，把复杂的面积计算问题通过平移的方法转化为简单的面积计算问题.

发散1 把边长相等的两个正方形，改成两个相同的平行四边形后（如图3、4），用上述同样的平移的方法也能说明上述结论仍然成立吗？（请读者自行画图说明）

发散2 如图1、图2中的一个a改成b（且a≠b），结论还成立吗？为什么？（读者自行完成，并说明理由）

发散3 如图3、4中的一个a改成b（且a≠b），结论还成立吗？为什么？（读者自行完成）

例2 一家住房的结构如图5所示（单位：m），这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少m2的地砖？如果某种地砖的价格是a元/m2，那么购买所需的地砖至少需要多少元？

解法一：用面积和来计算：

地砖面积=2x·4y +x·2y+x·y=11xy（m2）；

总费用=a·11xy=11axy（元）.

答：（略）.

解法二：用面积差来计算：

地砖面积=4x·4y-x·y-2x·2y=11xy（m2）；

总费用=a·11xy=11axy（元）.

答：（略）.

说明：在同一个几何图形的问题中，我们要学会用不同的数学眼光去观察和思考.

二、 做中学，学中做，拼图其乐无穷

例3 我们知道，利用拼图得到图6，经过验证，可得到乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2或因式分解公式a2+2ab+b2=（a+b）2.

发散1 若有边长分别为a、b、c的正方形卡片各1张，长与宽分别为a与b、a与c、b与c的卡片各2张，你能说明下面的两个等式成立吗？

（1） （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

（2） a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

解：成立.理由是：我们可继续利用图6的拼图方法得到图7.

因为图7中的最大正方形的边长是（a+b+c），其面积是（a+b+c）2；同时最大正方形的面积也是九张卡片的面积和，即：a2+b2+c2+ab+ab+bc+bc+ac+ac=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac成立，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2成立.

发散2 请你借助于上面的拼图方法来说明：（x1+x2+x3+…+xn）2=x12+x22+x32+…+xn2+2x1x2+2x1x3+…+2x1xn+2x2x3+2x2x4+…+2x2xn+2x3x4+2x3x5+…+2xn-1xn.读者自行完成，说明上述等式成立的理由.

发散3 如果把图6和图7改成在立方体中来考察，请你猜想：

（1） （a+b）3=_______；

（2） （a+b+c）3=_______；

（3） （x1+x2+x3+…+xn）3=_______.

请读者借助于上面的拼图方法来说明验证你的猜想.

说明 我们通过拼图的方法：

（1） 验证了乘法公式和因式分解公式；

（2） 验证了整式的乘法和因式分解是互逆的运算关系.

三、 学会用中学所学的知识，解释小学中的数学结论

例4 速算末位数字是5的两位数的平方.

如：152，结果的百位数字是1×（1+1）=2，后面的两位数字始终是25，所以152=225；

252，结果的百位数字是2×（1+2）=6， 后面的两位数字始终是25，所以252=625；

352，结果的前两个数字是3×（1+3）=12，后面的两位数字始终是25，所以352=1 225；

452，结果的前两个数字是4×（1+4）=20，后面的两位数字始终是25，所以452=2 025；

……

你认为这种速算方法正确吗？

解：正确.

理由是：设十位上的数字为a，个位上的数字为5，则这个两位数的平方数可表示为：

（10a+5）2=100a2+2·10a·5+52=100a（1+a）+25.

读者不妨速算：552=_______；652=_______；752=_______；852=_______；952=_______.

例5 “一个多位数，若各位上的数字之和能被3整除，那么这个多位数也能被3整除”这个结论正确吗？为什么？

解：正确.

理由是：不妨设一个三位数的百位上的数字是a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为：

100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9（11a+b）+（a+b+c），其中，a+b+c就是三位数的各位数字之和，且能被3整除，因为a是1～9的整数，b是0～9的整数，所以（11a+b）一定是整数，所以9（11a+b）能被3整除，所以9（11a+b）+（a+b+c）一定能被3整除，所以100a+10b+c一定能被3整除，所以若一个三位数的各位上的数字之和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除.

请读者仿照上面的说理方法说明：

一个五位数，各位上的数字之和能被3整除，那么这个五位数也能被3整除.

……

所以，可以得到结论：“ 一个多位数，若各位上的数字之和能被3整除，那么这个多位数也能被3整除”是正确.

说明 当遇到类似上面难以说明的某个数学问题时，我们要会想起用字母表示数，结合本题条件和学过的知识，就能解决难以说明的某个数学问题.学会用从特殊到一般、再到猜想归纳数学结论的数学思想和方法去探索数学知识海洋的奥秘，从中你感受到了用字母表示数的伟大作用了吗？通过例4和例5的学习，同学们也一定学会了用初中所学的知识，去解释小学里学到的数学结论了吧！你感悟到用初中数学知识来解决数学问题的无穷魅力了吗？