幂的“变”“凑”曲

徐向荣

幂的运算是整式运算的基础，因此学好幂的运算就是为后面继续学习夯实基础.本文重点介绍幂的运算中常用的技巧：“二变二凑”.

技巧一：变底数

例1 若2x+5y=3，求4x·32y的值.

解：4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.

例2 设x=3m，y=27m+2，用含x的代数式表示y，则y=________.

解：y=（33）m+2=33m+6=33m·36=（3m）3·36=x3·729=729x3.

【点评】例1将底数4和32换成2为底，再利用幂的乘方和同底数幂乘法法则得到22x+5y，利用整体代换的方法求出结果为8.例2将27换成33，将幂的乘方法则和同底数幂乘法法则顺向和逆向使用，从而得到y=729x3.

技巧二：变指数

例3 若a=2555，b=3444，c=6222，请比较a，b，c的大小，用“>”连接.

解：a=2555=25×111=（25）111=32111，

b=3444=34×111=（34）111=81111，

c=6222=62×111=（62）111=36111.

因为81>36>32，所以b>c>a.

例4 3-108与2-144的大小关系是_______.

解：3-108=（3-3）36=■36，2-144=（2-4）36=■36，

因为■<■，所以3-108<2-144.

【点评】例3，例4都是先将指数化为相同的数，再比较底数的大小，找到指数的最大公约数，熟练地正向和反向使用幂的乘方法则是关键.

技巧三：凑出“1”

例5 计算■2012×（1.5）2013×（-1）2013.

解：原式=■2012×■2013×（-1）=-■×■2012×■=-■.

例6 计算-■2011×2■2012的值.

解：原式=-■2011×■2011×■

=-■×■2011×■=-■.

【点评】例5逆用积的乘方法则以及幂的乘方公式凑出“1”，例6先定积的符号为负，再用例5的方法凑出“1”使运算变得简便.

技巧四：凑整体

例7 已知10m=20，10n=■，求9m÷32n的值.

解：因为9m÷32n=32m÷32n=32m-2n=32（m-n），

而10m=20，10n=■，所以10m÷10n=20×5=100，

所以10m-n=102，所以m-n=2，所以9m÷32n=32（m-n）=32×2=34=81.

例8 已知a2+a=1，求2 013a3+4 025a2-a的值.

解：原式=2 013a3+2 013a2+2 012a2-a

=2 013a（a2+a）+2 012a2-a

=2 013a+2 012a2-a

=2 012a2+2 012a

=2 012（a2+a）

=2 012.

【点评】例7在变底数为3后就缺m-n的值，所以利用已知条件借助同底数幂的除法构造m-n这个整体，从而顺利解题.例8借助提取公因式反复构造a2+a，利用a2+a=1反复整体代换，使解题变得简便.