“幂的运算”中常见错误与分析

马恒平

幂的运算法则是在有理数的基础上讨论的，它既有对数的通性的概括，又有从数到式的抽象，法则中的字母既可以代表具体的数，也可以是代数式，这对同学们来说比较抽象，难以理解，对法则往往会记错、混淆而产生错误.现将常见错误归纳剖析如下，供同学们参考.

一、 忽视幂指数“1”

例1 计算：x3·x2·x.

错解 x3·x2·x=x3+2+0=x5.

剖析 误认为x的指数为0，实际上，单独一个字母的指数为1，只是省略没有写.

正解 x3·x2·x=x3+2+1=x6.

二、 混淆同底数幂的乘法与合并同类项

例2 计算：① x2·x2；② x2+x2.

错解 ① x2·x2=2x4；② x2+x2=2x4.

剖析 同底数幂的乘法法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；而合并同类项法则是：字母及字母的指数不变，只把系数相加减.

正解 ① x2·x2=x2+2=x4；② x2+x2=（1+1）x2=2x2.

三、 幂乘误为指乘

例3 计算：x4·x5.

错解 x4·x5=x4×5=x20.

剖析 把幂x4与x5的乘法运算符号用到指数4与5的运算上而造成错解.

正解 x4·x5=x4+5=x9.

四、 底数互异时符号错

例4 计算：① -x4·（-x）2；② （x-y）2·（y-x）3.

错解 ① -x4·（-x）2=（-x）6=x6；

② （x-y）2·（y-x）3=（x-y）2·（x-y）3=（x-y）5.

剖析 错误原因是把不同底数化为同底数时，漏掉了底数之中的负号或将式子的符号错当成底数符号.

正解 ① -x4·（-x）2=-x4·x2=-x6；

② （x-y）2·（y-x）3=（y-x）2·（y-x）3=（y-x）5.

五、 积的乘方漏因式

例5 计算：（a2b3）4.

错解 （a2b3）4=a2b3×4=a2b12.

剖析 积的乘方应该是将积中每一个因式分别乘方，而不是只将最后一个因式乘方.

正解 （a2b3）4=（a2）4·（b3）4=a2×4b3×4=a8b12.

六、 混淆幂的乘方和同底数幂的乘法

例6 计算：（x3）2.

错解 （x3）2=x3+2=x5.

剖析 幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，而不是相加.

正解 （x3）2=x3×2=x6.

七、 半途而废，算不彻底

例7 计算：-■2012×3■2012.

错解 -■2012×3■2012=-■2012×■2012.

剖析 由于没有注意到逆向使用公式，运算只好中途停止，因此没有得出最后简捷的结果.

正解 -■2012×3■2012=-■2012×■2012=-■×■2012=（-1）2012=1.