基于蒙特卡洛法的挖掘机反铲装置作业空间分析与仿真

银光球

（福建工程学院 机械与汽车工程学院，福建 福州 350108）

挖掘机作业空间（最大挖掘高度，最大卸载高度，最大挖掘半径，最大挖掘深度等）是挖掘机工作装置设计时必须满足的尺寸参数，同时也是决定挖掘机实际使用环境以及与其他工程机械配合使用的指标参数之一［1］.比如挖掘机的最大卸载高度决定其能与多高自卸卡车配合使用.所以在挖掘机工作装置的设计、优化、控制及应用过程中，作业空间都是一个需要考虑的重要问题.然而描述作业空间的几何形伏，并讨论其几何特性，对于多自由度挖掘机反铲装置来说，是一个十分复杂的问题.

液压挖掘机反铲装置包括动臂、斗杆、铲斗及相应的三组驱动液压缸，其结构与具有臂、关节和末端执行器的机械手十分相似，因此，可以利用确定机械手工作空间的方法来确定挖掘机工作装置的作业空间.目前，确定机械手工作空间的方法主要有解析法、图解法、数值法和仿真法［2～6］.解析法是通过多次包络来确定工作空间边界，但是涉及复杂的空间曲面相交和裁剪等计算机图形学内容，而且其直观性不强，十分繁琐，适用于自由度比较少的场合；图解法用于求解机械手的工作空间边界，直观性强，但受自由度数的限制；数值法和仿真法通用性强，可以利用计算机高速的运算能力和图形显示功能，方便快捷地得到机械手的工作空间，但是仿真法必须建立机械手的虚拟样机，这在设计的前期由于没有虚拟样机模型，所以没法使用.随着计算机的广泛应用，对机械手的工作空间的求解越来越倾向于数值法，然后再用仿真法来验证.本文采用基于随机抽样的蒙特卡洛法求解挖掘机反铲装置的作业空间，然后采用仿真法加以验证.

1 挖掘机反铲工作装置作业空间的描述

挖掘机工作装置包括动臂、斗杆、铲斗及相应的三组驱动液压缸，在不计工作装置回转自由度的情况下，它是一个3自由度的复杂平面机构.由于液压挖掘机的工作装置与机械手的相似性，因此，可以利用机器人运动学理论，按照Denavit－Hartenberg方法建立工作装置的坐标系（如图1），以齐次坐标的形式来描述铲斗末端的位姿，从而建立起液压挖掘机工作装置的运动学模型.为了便于描述挖掘机工作装置的作业空间，按选取变量的不同可定义三种空间：驱动空间、关节空间、位姿空间.

图1 反铲装置的D－H坐标系Fig.1 D－H coordinates system of backhoe equipment

驱动空间：由动臂液压缸长度L1，斗杆液压缸长度L2和铲斗液压缸长度L3组成，则三维关节空间用齐次坐标表示为

关节空间：动臂与回转平台之间的转角θ1，斗杆与动臂之间的转角θ2，以及铲斗与斗杆之间的转角θ3，则三维关节空间用齐次坐标表示为

以上三种空间之间的相互关系如图2所示.

图2 不同空间之间的转换关系Fig.2 Transition relationship among different spaces

2 蒙特卡洛法求解反铲工作装置的作业空间

根据图1建立的D－H坐标系，笔者推导出挖掘机反铲工作装置在世界坐标系xOy的运动学正解方程为［7］：

式中：ai为z0轴到zi轴沿xi轴测量的距离，i＝1，2，3；c123＝cos（θ1＋θ2＋θ3）；c12＝cos（θ1＋θ2）；θi为xi－1轴到xi轴绕zi－1轴旋转的角度，i＝1，2，3；c1＝cosθ1；s123＝sin（θ1＋θ2＋θ3）；s12＝sin（θ1＋θ2）；s1＝sinθ1；a为坐标系x0Cy0的坐标原点在坐标系xOy中的x坐标值；b为坐标系x0Cy0的坐标原点在坐标系xOy中的y坐标值.

求解反铲工作装置的作业空间其实就是求方程（1）的值域，由于该方程是含三角函数的非线性方程，值域求解的方法多，但是都比较困难，所以本文采用蒙特卡洛方法来求方程（1）的值域，也就是对反铲装置的作业空间进行分析.

蒙特卡洛方法是一种借助于随机抽样来解决数学问题的数值方法，广泛应用于描述某些随机的物理现象.反铲工作装置的各关节是在其相应取值范围（如表1所示）内工作的，当所有关节在取值范围内随机取值后，末端点的所有随机值的集合就构成了反铲工作装置的作业空间.因此，可取反铲工作装置各关节变量的随机值，并将其代入运动学正解方程（1）中，由此得到反铲工作装置末端点的三维坐标值.最后，将这些三维坐标点输出到图形设备上，得到反铲工作装置作业空间的仿真图形.具体步骤如下：

表1 挖掘机关节角的变化范围Tab.1 Variation range of excavator joint angle（°）

（1）利用随机函数rand（）产生［0，1］区间的随机数，并由此产生关节变量的随机增量（θimaxθimin）×rand（），这样就可以得到各关节变量的随机值为

式中：θimin为关节i的转动范围的最小值，i＝1，2，3；θimax为关节i的转动范围的最大值.

（2）将求得的关节变量的值代入式（1），求出铲斗齿尖相应的向量值.

（3）将所得的位置向量的值按一定的比例，并按打点的方式显示在图形设备上.

（4）重复步骤（1），进行下一次的循环直到随机点数M＞20 000，求解结束.

将用蒙特卡洛法求解挖掘机作业空间的过程编写为计算程序，运用工程软件MATLAB实现仿真分析，输出20 000个点模拟挖掘机反铲工作装置的作业空间，得到挖掘机反铲工作装置的作业空间，如图3所示.图4为利用虚拟样机技术在ADAMS中仿真得到挖掘机反铲工作装置的作业空间.

比较图3、图4可知，用蒙特卡洛法模拟关节空间各个关节的实际转角范围，求得的液压挖掘机反铲工作装置作业空间与用虚拟样机技术求得的作业空间基本一致，而且投影面上没有明显的空洞，说明挖掘机反铲工作装置的斗齿尖能到达作业空间内的任意位置，实现有效挖掘.模拟仿真结果与挖掘机的实际作业空间基本相符.二者关键尺寸的仿真结果如表2所示.

图3 蒙特卡洛法求得的挖掘机作业空间Fig.3 Excavator working space of Monte Carlo method

图4 ADAMS仿真求得的挖掘机作业空间Fig.4 Excavator working space of simulation in ADAMS

表2 蒙特卡洛法与ADAMS仿真关键尺寸比较Tab.2 Critical dimension comparison of the Monte Carlo method and ADAMS simulation m

从表2比较可知，二者误差不大，都在5%以内.误差产生的主要原因大致如下：

（1）蒙特卡洛法中随机抽样次数的影响，抽样次数越多，模拟仿真结果越精确，获得极限位置的正确解的概率越高.

（2）由于挖掘机的虚拟装配模型需要在第三方软件（比如Pro／E、UG等）中建立，然后导入ADAMS中建立挖掘机的虚拟样机，不同软件数据结构和数据精度的差异，必然会产生模型转换误差，以及在仿真过程中的测量方法误差.

此外，两种仿真过程各有各的优势，蒙特卡洛法无需建立挖掘机反铲装置的虚拟样机模型，只需给出反铲装置各铰点之间的关键设计尺寸，即可进行运动仿真，求得挖掘机反铲装置的作业空间，适用于设计初期对一些关键设计参数（机构参数）进行分析、修改和验证；而在ADAMS中进行运动仿真必需建立挖掘机反铲工作装置的虚拟样机，而虚拟样机必须经过详细的结构设计后才能获得，适用于设计后期对整个设计方案的分析、修改和验证.

3 结论

（1）在分析液压挖掘机反铲装置作业空间的基础上，将机器人运动学理论、矩阵理论应用于挖掘机的反铲装置，对挖掘机的作业空间进行了有效的描述.

（2）在研究求解挖掘机反铲装置作业空间主要方法的基础上，提出采用蒙特卡洛法求解分析挖掘机反铲装置的作业空间，具有算法简单、求解速度快、表达简洁直观等优点，只需要给出关键设计尺寸，即可进行挖掘机作业空间的仿真分析.

（3）在MATLAB中，编写了基于蒙特卡洛法的挖掘机反铲装置斗齿尖空间位置仿真程序，直观地模拟挖掘机的作业空间，仿真模拟结果与采用虚拟样机技术在ADAMS中的仿真结果基本一致，证明采用蒙特卡洛法分析、模拟挖掘机反铲装置作业空间的有效性和实用性.同时模拟仿真结果提供了其他工程机械与挖掘机合理配套的依据，对挖掘机能力的充分利用具有重要的研究意义.

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