基于Chen-Mobius变换的通信系统抗噪声性能分析——线性双边带调制解调

林顺达

（泉州师范学院物理与信息工程学院，福建泉州362000）

基于Chen-Mobius变换的通信系统抗噪声性能分析
——线性双边带调制解调

林顺达

（泉州师范学院物理与信息工程学院，福建泉州362000）

在基于Chen-Mobius变换所建立的通信系统的基础上，对其抗噪声性能做归纳和分析。应用Matlab仿真软件中的simulink工具建立Chen-Mobius通信系统模型，对加噪信号进行去噪处理的结果表明，模型运行性能良好，且具有比较好的抗噪声性能。构造了线性双边带调制相干解调时抗噪声系统的模型，从理论上推导出系统的增益，并给出相应的性能分析。

Chen-Mobius变换；通信系统；线性双边带调制；抗噪声性能

中科院院士陈难先教授自20世纪90年代以来，在应用、推广数论中的Mobius变换时，对物理学中逆问题的解决做了开创性的工作[1-2]。而Mobius变换业已应用于通信系统，这方面的文献和研究成果也在作者及其他相关专家的研究开发下，发表了一系列的文章[3-12]。

作者与之前做了许多工作，主要实现了Mobius变换对几种常用数字信号的付立叶级数进行了逆变换运算，实现了其在计算机软件上的仿真和一些最初的比较研究。应用Mobius变换所建立起来的通信系统具有信号高保真、抗强干扰的性能，实验和计算机仿真结果都得到了印证。其在图像处理的应用同样具有良好的性能[3-12]。

然而之前的工作注重于系统仿真及对软硬件功能实现的努力，未能在性能分析上做总结说明。本文讨论了Chen-Mobius通信系统在信道存在加性高斯白噪声时的调制系统的抗噪声性能。既然Chen-Mobius通信系统具有传统通信系统无可比拟的优点[2-7]，就有必要对其性能做出解析，发现其优越性。本文试图建立类似于双边带线性调制及相干解调（DSB）的抗噪声性能分析建模，以模拟或数字信号作为输入信号，通过Chen-Mobius通信系统[8-12]，并从理论上推导出系统的增益，并给出了部分仿真结果和分析。

1 基于Chen-Mobius变换的通信系统的理论基础

1.1 周期函数信号的付立叶级数及其Mobius逆变换

周期函数的信号波形都可以展开为付立叶级数，形如（1）～（2）式所示[8]。

其中行列式[A]和[B]分别是对应项系数行列式，且当且仅当l=k/m，即k整除m时成立。对比(1)～(2)式和(3)～(4)式，可以发现，当(3)～(4)式中的k/m为整数时，后者项数只是前者项数的很少一部分，但这不是简单截取，从频谱上看，只保留了有限个频率组成部分。但是频率相同的部分，其系数的实现方法不同，构成也相异，各自满足不同的变换。表1以对称方波为例，给出经变换后不同阶数（k）与其正交的函数族，其中E为方波的幅度，k是谐波系数[8-9]。以k=5为例，奇对称方波的正交函数的组成只有两项，即如（6）式所示。

表1 奇对称方波的正交函数族

而对应的奇对称方波信号的傅里叶级数展开式为：

1.2 Chen-Mobius通信系统及模型的建立

Chen-Mobius变换在通信中的应用包括在模拟通信系统、数字信号基带通信系统、数字信号调制传输等系统中的应用。在几种数字信号逆变化计算的基础上[8-9]，把计算结果应用于模拟通信系统中，其模拟通信系统的基本框架图如图1所示。

图1 基于Chen-Mobius变换的模拟通信系统基本框架图

其中S(t)和S˜(t)即为对应的F(ωt）和F˜K(ωt）分别表示互相正交的调制载波函数族及其逆变换，它们作为Chen-Mobius通信系统的相干调制解调函数。Chen-Mobius变换通信系统调制与相干解调的函数是不同的函数族，虽然它们是相互正交的函数族，但它们每一个函数族本身却是非正交的。该通信系统具有很强的抗干扰能力[4-6]。

2 Chen-Mobius通信系统抗噪声性能的分析

依据通信系统的抗噪声性能分析模型[13]，同样可以画出Chen-Mobius通信系统的抗噪声性能分析模型如图2所示。

图中带通滤波器的带宽命名为为BChen，且BChen=（ωmax+ωH）-（ωmin+ωH）。其中ωmax、ωmin和ωH分别代表最大载波频率、最小载波频率以及调制信号带宽，并设调制信号m（t）是均值为0的信号，其带宽为BH，5阶方波变换已调信号的幅频特性图如图3所示。

图2 Chen-Mobius变换的模拟通信系统抗噪声性能分析模型

图3 5阶方波变换已调信号的幅频特性

因而不同的调制、解调方法则可能有不同的抗噪声性能，依此来分析Chen-Mobius通信系统。

输入信号平均功率：由图2知si（t）+ni（t）=m（t）S˜（t）+ni（t），所以

由于ni（t）=nI（t）cosω0t-nQ（t）sinω0t，所以在解调器处采用常用信号（如方波）进行相干解调有：

结论：双边带信号解调器的信噪比改善2BChen/B'Chen倍，原因是不但相干解调把噪声中的正交分量nI(t)被抑制除掉了，从而使噪声功率减半，而且带宽增加为BChen，并且由于满足B'Chen□BChen，使得调制增益GChen=2BChen/B'Chen□2，是DSB线性调制BChen/B'Che倍，所以系统的抗强噪声性能优于DSB。以5阶奇对称方波为例，此时的系统增益：

当ω□10ωH时，GChen│5阶方波□21，具有其他线性调制所无法比拟的系统增益。所以基于系统增益的Chen-Mobius通信系统的抗噪声性能大大优越于传统的线性通信系统，如果调制频率和逆变换载波函数选择得当，系统的增益可以增大至满意的效果。但这是以牺牲带宽为代价的，这也正是香农定理所表述的。

3 信号去噪的仿真与分析

3.1 仿真模型

以5阶（k=5）奇对称方波信号fas(ωt)（用S（t）表示）波形及其变换S˜（t）的结果（如表1所示）应用为例，对一段语音信号进行仿真，系统仿真结构如图4所示。

图4 基于Chen-Mobius变换的Simulink仿真模型图

3.2 仿真结果与分析

本文应用了Matlab的Simulink仿真模块，在计算机上对一段语音信号进行了仿真和分析。仿真结果表明，图像能够得到很好的恢复(如图5）。当输入的计算信噪比为3.2124（约5db)时，其去噪恢复的均方误差MSE=0.1468％，效果良好。

图5 基于Chen-Mobius变换的语音信号仿真结果图

以上推论和仿真结果均表明，Chen-Mobius通信系统在恶劣干扰情况下，可以高保真地把信号恢复出来，具有抗强干扰的能力。其他的仿真结果和分析将在以后的研究中陆续给出。

4 结论

本文基于Chen-Mobius变换方法，讨论了Chen-Mobius通信系统信道存在加性高斯白噪声时的调制系统的抗噪声性能，同时给出其线性双边带调制相干解调时抗噪声系统的模型，并推论得到Chen-Mobius通信系统的系统增益表达式，表明系统具有优越于传统通信系统的抗噪声性能。由于系统的带宽增加了，而其有效占用带宽只是系统带宽当中很少的一部分，并且其系统增益又是两个之比值的两倍，所以，系统具有高增益性能。而且，如果调制频率和逆变换载波函数选择得当，系统的增益可以增大至非常满意的效果。但是它是以牺牲带宽来换取高信噪比的，满足香农定理所表述的内容。

理论推导和研究只是刚刚开始，许多工作还有待展开，如其应用于非线性调制解调的问题、如何与正交多载波调制（OFDM）等其他方法相结合应用的问题等。但是，可以遇见的是，研究成果必将具有应用于军事、经济建设与人民生活等众多领域的应用意义和理论意义。

致谢：

感谢中国科学院院士陈难先教授对本文内容及方法的完成的不吝指导和长期关注。在此谨致以由衷的敬意！

［1］CHEN N X，ZHANG C F，ZHOU M，et al.Closed-form solution for inverse problems of fermi systems［J］.Phys Rev E AUG，1993，48（2）：1558-1561.

［2］CHEN N X.A new solution for inverse problems of Fermi systems［J］.Progress in Natural Ccience（in Chinese），2003，13（5）：473-477.

［3］林顺达.Mobius变换在数字图像处理中的应用与仿真［J］.泉州师范学院学报，2009，27（6）：42-44.

［4］林顺达，苏武浔.Mobius变换在模拟通信中的应用与仿真［J］.华侨大学学报，2006，27（1）：108-110.

［5］林顺达.新型Mobius模拟通信系统的比较研究［J］.泉州师范学院学报，2006，24（4）：34-38.

［6］林顺达，苏大生.新型陈-Mobius模拟通信系统的计算机仿真与分析［J］.泉州师范学院学报，2007，25（2）：52-56.

［7］林顺达.陈-Mobius模拟通信系统调制解调函数分析［J］.泉州师范学院学报，2007，25（6）：25-28.

［8］苏武浔，张渭滨，王建成.几种常见信号波形的逆变换计算（I）［J］.华侨大学学报，2005，26（1）：80-84.

［9］苏武浔，张渭滨，王建成.几种常见信号波形的逆变换计算（II）［J］.华侨大学学报，2005，26（4）：416-419.

［10］LIN SHUN DA，CHEN MUSHENG.Applications of mobius transform in image processing and cryptography［C］／／2010 the 2nd International Conference on Signal Processing Systems（ICSPS 2010）.ICSPS：2010（2）：257-259.

［11］LIN SHUN DA.Image transmission and cryptography on the basis of mobius transform［C］／／2012 the 5th International Congress on Signal Processing（CISP 2012）.CISP：2012.

［12］LIN SHUN DA.A new method for image de-noising on the basis of chen-mobius transform［C］／／2013 IEEE International Conference on Imaging Systems and Techniques（IST 2013）Proceedings.IEEE：2013.

［13］南利平.通信原理简明教程［M］.2版.北京：清华大学出版社，2007.

The Study on the Performance of Chen-Mobius Communication in De-noising on DSB

LIN Shun-da

(College of Physics and Information Engineering,Quanzhou Normal University Quanzhou,362000,China)

The performance of the Chen-Mobius communication in de-noising on DSB was studied in this paper.Basing on the Chen-Mobius transform,the building and simulation of the communication system in anti-noising are presented. The results on testing de-noising signals indicate that the model performs well and has a good performance of antinoise.The model of the linear double side bands modulation and demodulation in the traditional communication system was constructed.It's the first time that the theoretical deduction on the gain of the Chen-Mobius communication system and the corresponding performance analysis were presented.

Chen-Mobius transform;image de-noising,DSB,simulation.

TN911.4

A

1673-4343（2013）06-0050-06

2013-09-18

泉州市科技计划重点项目（2011G15）;福建省教育厅中青年教师教育科研项目(JA13268)

林顺达，男，福建泉州人，讲师。研究方向：电子信息与通信和现代网络理论及其应用。