矩阵空间Mn（F）上一类线性变换的不动点

黄益生，罗飞来

（三明学院信息工程学院，福建三明365004）

矩阵空间Mn（F）上一类线性变换的不动点

黄益生，罗飞来

（三明学院信息工程学院，福建三明365004）

讨论由数域F上的一个n阶方阵A所决定的线性变换DA∶Mn（F）→Mn（F），X→AX-XA的不动点。主要结果如下：（1）由DA的全体不动点组成的集合构成矩阵空间Mn（F）的一个子空间，并且这个子空间中的每一个矩阵都是幂零矩阵；（2）如果A是可对角化矩阵，那么由DA的不动点组成的子空间，其维数不超过ψ（n），这里n≥2，并且当n为奇数时，ψ（n）=1/4（n2-1），当n为偶数时，ψ（n）=1/4n2；（3）如果m=p1q1+p2q2+…+psqs且p1+q1+p2+q2+…+ps+ qs≤n，那么存在一个一个n阶方阵A，使得由DA的不动点组成的子空间，其维数等于m,这里p1,q1,p2,q2,…,ps,qs都是正整数；（4）如果DA是矩阵空间Mn（C）上的线性变换，那么DA有非零不动点当且仅当存在A的两个特征值，其差等于1，这里n≥2，并且C表示复数域。

线性变换；不动点；矩阵方程；幂零矩阵

高等代数教材中一道习题可以叙述为[1]设A是复数域F上的一个n阶方阵，令DA是下列映射：

则DA是矩阵空间Mn（F）上的一个线性变换，并且下列公式成立：

这里Mn（F）表示数域F上全体n阶方阵组成的集合。这个公式类似于微积分中的导数公式

由此线性变换DA应该具有一些性质。例如，在微积分中有莱布尼兹公式

由此称DA为数域F上由方阵A所决定的莱布尼兹变换。

从上面的分析不难看出，探讨莱布尼兹变换是有意义的。但是经查阅各种文献，未发现有关这类变换的资料，因此本文尝试讨论这类变换的不动点，这里DA的一个不动点X0指的是使等式DA（X）=X成立的数域F上的一个n阶方阵X0。本文主要结果如下：

（1）由DA的全体不动点组成的集合构成矩阵空间Mn（F）的一个子空间，并且这个子空间中每一个矩阵都是幂零矩阵；

（2）如果A是可对角化矩阵，那么有DA的不动点组成的子空间，其维数不超过ψ（n），这里n≥2，并且当n为奇数时，ψ（n）=1/4（n2-1），当n为偶数时，ψ（n）=1/4n2；

（3）如果m=p1q1+p2q1+…+psqs且p1+q1+p2+q2+…+ps+qs≤n，那么存在一个n阶方阵A，使得由DA的不动点组成的子空间，其维数等于m,这里p1,q1,p2,q2…ps,qs都是正整数；

（4）如果DA是矩阵空间Mn（C）上的线性变换，那么DA由非零不动点当且仅当存在A的两个特征值，其差等于1，这里n≥2，并且C表示复数域。

1 预备知识

本文讨论中引用文献[1]中一些熟知的术语和结论，不再另加说明。首先证明命题1。命题1随意选取n个复数x1，x2，…xn（n≥2），可以构造一个数表如下：

表中可能有一些数等于1，而且当x1，x2，…xn变化时，表中出现1的那些数的个数也会发生变化。令ψ（n）表示表中出现1的个数的最大值，则

证明：显然ψ（n）的开头几个值为ψ（2）=1，ψ（3）=2，ψ（4）=4等。当n为奇数时，由

有ψ（n-1）＜ψ（n）。类似地，当n为偶数时，也有ψ（n-1）＜ψ（n）。

下面对n作数学归纳法。当n=2时，表中只有1行1列。取x1=1且x2=0，有x1-x2=1，所以ψ（2）= 1，结论成立。假定n＞2，并且对n-1的情形结论成立。下面考虑n的情形。显然上面的数表一共有n-1行n-1列。如果表中最后一列不全为1，那么表中出现1的个数与前n-2列中出现1的个数相同。根据归纳假定，表中出现1的个数不超过ψ（n-1），因而不超过ψ（n）。假定最后一列出现1，不妨假定这一列前k个数都是1，其余的都不是1（这样假定不会失去一般性，因为x1，x2，…xn这n个数可以随意选取），那么x1=x2=…=xk，并且xk+1，xk+2，…xn-1都不等于x1。于是前k-1列中的数都是零，因而这个数表可以改写如下：

注意到x1-xn=x2-xn=…=xk-xn=1，因此前k行中一共出现k×（n-k）个1。再注意到xk+1，xk+2，…xn-1都不等于x1，如果让xk+1，xk+2，…，xn-1都等于xn，那么后（n-1）-k行中不出现1。令f（k）表示表中出现1的个数，则

现在容易看出，若n是奇数，则当k=1/2(n-1)或k=1/2(n+1)时，f（k）达到最大值1/4（n2-1）。若n是偶数，则当k=1/2n时，f（k）达到最大值1/4n2。另一方面，如果xk+1，xk+2，…，xn-1中有一个不等于xn,比如说，xn-1≠xn，那么不论k取何值，除第n-2列外，表中其余的列与上一步中相应的列是一样的，而第n-2列中前k个数都不是1，后（n-2）-k个数都是1，因此表中出现1的个数为

显然，这个数不超过1/4（n2-1）或1/4n2。如果xk+1，xk+2，…xn-1中有多个不等于xn，仿照上面的讨论可证表中出现1的个数也不超过1/4（n2-1）或1/4n2。因此表中出现1的最大值为

上面的表中可能出现一些数等于-1。此时，只需改变x1，x2，…，xn的下标编号，也就是对这n个数进行重新排列，就可以保证表中的数都不等于-1。事实上，在实数的范围内，如果这n个数按从大到小的顺序进行排列，那么表中就不会出现负数，因而不出现-1。在复数范围内，注意到两个数的差为实数时，这两个数的虚部必相同，因此只需考虑x1，x2，…，xn这n个数的实部，让实部大的数排在实部小的数的前面。如果其中有两个数，它们的实部相同，但虚部不同，那么可以随意选取其中的一个排在另一个的前面。容易看出，按照这样的方法对这n个数进行重新排列后，可以保证表中的数不出现-1。再注意到xi-xj与xj-xi只相差一个符号。根据命题1，推论1成立。

推论1设x1，x2，…，xn是n个复数（n≥2）。令aij=xi-xj，i，j=1，2，…，n，并令A=（aij），则矩阵A的n2个元素中不超过ψ（n）个1，这里当n为奇数时，ψ（n）=1/4（n2-1）；当n为偶数时ψ（n）=1/4n2。

2 莱布尼兹变换的不动点

本节讨论莱布尼兹变换的不动点。设A是数域F上的一个n阶方阵。根据本文开头的说明，由A所决定的莱布尼兹变换DA是Mn（F）上的线性变换。已知每一个线性变换都把零向量变成零向量，那么DA（O）=O,所以n阶零矩阵O是DA的一个不动点。为了便于叙述，DA的其余不动点（如果存在的话）称为非零不动点。

令X0是DA的一个不动点，则DA（X0）=X0。因为DA是下列映射：

所以DA（X0）=AX0-X0A，因此AX0-X0A=X0，故X0是数域F上的矩阵方程AX-XA=X的一个解。反之，如果X0是该矩阵方程的一个解，容易验证它是DA的一个不动点。这就得到：

命题2设A是数域F上的一个n阶方阵。令DA是由A所决定的莱布尼兹变换，则由DA的全体不动点组成的集合就是矩阵方程AX-XA=X的解集。特别地，DA有非零不动点当且仅当这个矩阵方程有非零解。

根据命题2，可以把讨论莱布尼兹变换DA的不动点问题，转向讨论矩阵方程AX-XA=X的解的相应问题。不难看出，这样的矩阵方程是数域F上的一个n2元齐次线性方程组，因而它的解集构成矩阵空间Mn（F）的一个子空间，称为矩阵方程AX-XA=X的解空间。这个事实可以用不动点的语言叙述如下：由DA的全体不动点组成的集合构成Mn（F）的一个子空间，称为DA的不动点空间。

命题3设A，B∈Mn（F）。如果A相似于B，那么矩阵方程AX-XA=X有非零解当且仅当矩阵方程BY-YB=Y有非零解，并且这两个矩阵方程的解空间有相同的维数。

证明：已知A相似于B，那么存在数域F上的一个n阶可逆矩阵T，使得B=T-1AT。设矩阵方程AX-XA=X有一个非零解X0，则AX0-X0A=X0，所以

令Y0=T-1X0T，则Y0≠0，并且由B=T-1AT，得到BY0-Y0B=Y0，因此Y0是矩阵方程BY-YB=Y的一个非零解。类似地，可以证明，如果Y0是矩阵方程BY-YB=Y的一个非零解，那么X0是矩阵方程AXXA=X的一个非零解，这里X0=TY0T-1。这就证明了命题3的前半部分。

下面证明命题3的后半部分。根据前面的讨论，如果矩阵方程AX-XA=X只有零解，那么矩阵方程BY-YB=Y也只有零解，因此这两个矩阵方程的解空间的维数都等于零。不妨设AX-XA=X有非零解，并设X1，X2,…，Xr是它的解空间W的一个基。令Yi=T-1XiT，其中i=1,2，…，r。根据前面的讨论，Y1，Y2,…，Yr是矩阵方程BY-YB=Y的r个解。设

分别用T和T-1去左乘和右乘上式两边，得

已知Yi=T-1XiT，那么Xi=T-1YiT（i=1,2，…，r），所以

又已知X1，X2,…，Xr是它的解空间W的一个基，那么k1，k2，…，kr只能全为零。另一方面，设Y0是矩阵方程BY-YB=Y的一个解。根据前面的讨论，TY0T-1是矩阵方程AX-XA=X的一个解，因而它可以由解空间W的基X1，X2,…，Xr线性表示，即存在a1，a2，…，ar∈F，使得

分别用T-1和T去左乘和右乘上式两边，得

从而由Yi=T-1XiT（i=1,2，…，r），有

即Y0可由向量组Y1，Y2,…，Yr线性表示。这就证明了Y1，Y2,…，Yr是矩阵方程BY-YB=Y的解空间的一个基，因此所给两个矩阵方程的解空间，其维数都等于r。

根据命题3的证明和命题2，可以求出莱布尼兹变换的不动点空间。

再解线性方程组（2I-A）x→=-η2（这里x→=（x1，x2，x3，x4）′），即

的解为k1E23+k2E41，k1，k2∈F，这里Eij表示第i行第j列元素为1，其余元素全为零的4阶方阵。根据命题3的证明，矩阵方程AX-XA=X的解为T（k1E23+k2E41）T-1，k1，k2∈F。根据命题2，DA的不动点空间为{T（k1E23+k2E41）T-1│k1，k2∈F}，即

对于可对角化的n阶方阵，莱布尼兹变换具有下列性质。

命题4设A是数域F上的一个n阶方阵（n≥2）。令W是由A所决定的莱布尼兹变换DA的不动点空间。如果A是可对角化的，那么

（1）DA有非零不动点当且仅当存在A的一对特征值，其差等于1；

（2）W的维数等于A的特征值中，差为1的特征值的对数；

（3）W的维数不超过ψ（n），这里当n为奇数时，ψ（n）=1/4（n2-1）；当n为偶数时，ψ（n）=1/4n2。

证明：已知A是可对角化的，那么A的特征值多项式的n个根λ1，λ2，…，λn恰好是它的全部特征值。于是A（在数域F上）相似于对角矩阵D，这里D=diag{λ1，λ2，…，λn}。下面考虑方程DY-YD=Y。令Y=（yij），则这个矩阵方程可以改写成

由此可见，矩阵方程DY-YD=Y满足下列n2元齐次线性方程组：

反过来，以这个方程组的解作为元素的矩阵也满足上述矩阵方程。

现在，容易看出，下列两个结论同时成立：当且仅当存在A的一对特征值，比如说λi0与λj0，使得λi0-λj0-1=0（即λi0与λj0之差等于1）时，矩阵方程DY-YD=Y有非零解；上述线性方程组的自由未知量个数，也就是矩阵方程DY-YD=Y的解空间的维数，等于A的特征值中，差为1的特征值的对数。其次，根据推论1，下列结论也成立：矩阵方程DY-YD=Y的解空间的维数不超过ψ（n）。于是，由命题2和命题3可见，命题4的3个结论都成立。

命题5设m是一个正整数，如果存在正整数p1,q1,p2,q2,…,ps,qs，使得m=p1q1+p2q2+…+psqs且p1+ q1+p2+q2+…+ps+qs≤n，那么存在数域F上的一个n阶方阵A，使得DA的不动点空间的维数等于m。

证明：为了便于书写，只证存在两对正整数p1,q1与p2,q2的情形。类似的方法可证一般情形。已知m=p1q1+p2q2且p1+q1+p2+q2≤n，那么可设λ1=λ2=…=λp1=1，λp1+1=…=λp1+q1=0，λp1+q1+1=…=λp1+q1+p2=4，λp1+q1+p2+1=…=λp1+q1+p2+q2=3，λp1+q1+p2+q2+1=…=λn=6（当p1+q1+p2+q2＜n）。于是当1≤i≤p1且p1+1≤j≤p1+q1时，有λi-λj=1-0=1。这样的差一共有p1×q1个。当p1+q1+1≤i≤p1+q1+p2且p1+q1+p2+1≤j≤p1+q1+p2+ q2时，有λi-λj=4-3=1。这样的差一共有p2×q2个。容易看出，其余的每一个差λi-λj只能是下列12个数之一：0，-1，±2，±3，±4，±5，±6。令A=diag{λ1，λ2，…，λn}，则A是数域F上的一个n阶可对角化矩阵们并且它的n个特征值为λ1，λ2，…，λn。根据上面的讨论，这n个特征值中，差为1的特征值对数为p1×q1+p2×q2个。注意到m=p1q1+p2q2，因此差为1的特征值对数为m。根据命题4，DA的不动点空间的维数等于m。

设n≥2。并且当n为奇数时，ψ（n）=1/4（n2-1），即ψ（n）=（n-1）/2×(n+1）/2。显然，（n-1）/2与(n+1）/2都是正整数，并且（n-1）/2×(n+1）/2≤n。又已知当n为偶数时，ψ（n）=1/4n2，即ψ（n）=n/2×n/2。显然n/2是正整数，并且n/2+n/2≤n。因此作为命题5的特殊情形，存在数域F上的一个n阶对角化矩阵，使得DA的不动点空间的维数等于ψ（n）。

例2容易计算除11外，介于1和12之间的每一个正整数m，或者可以分解成一对正整数的p1，q1的乘积p1q1，其中p1+q1≤7，或者可以分解成两队正整数p1，q1和p2，q2的乘积之和p1q1+p2q2，其中p1+q1+p2+q2≤7。计算结果如下：

表中Δ代表m的分解式，Σ代表分解式中的所有因数之和，根据命题5，由数域F上的7阶方阵所决定的莱布尼兹变换，其不动点空间（含零空间）可能的维数，至少有12种。

在文献[2]中，作者证明了幂零矩阵的一个等价条件，即“复数域上的一个n阶方阵A是幂零的当且仅当存在复数域上的一个n阶方阵B，使得等式AB-BA=A成立”。显然，如果A是幂零的，那么-A也是幂零的，反之亦然。令X=-A，并令B=A，则上面的等式变成AX-XA=X，这表明，复数域上满足最后一个等式的每一个n阶方阵X是一个幂零矩阵。如果最后一个等式中的A和X都是复数域F上的n阶方阵，由于数域F上的矩阵也可以看作复数域上的矩阵，因此X仍然是一个幂零矩阵。于是由命题2得到命题6。

命题6设A是数域F上的一个n阶方阵，则DA的每一个不动点是一个幂零矩阵。

由命题5和命题6立即得到推论2。

推论2设m=p1q1+p2q2+…+psqs，其中p1,q1,p2,q2，…，ps,qs都是正整数。如果p1+q1+p2+q2+…+ps+ qs≤n，那么存在矩阵空间Mn（F）的一个m维子空间W，使得W中的每一个矩阵都是幂零的。

命题7设A是复数域上的一个n阶方阵（n≥2），则DA有非零不动点当且仅当存在A的两个特征值，其差等于1。

证明：设A的约当标准形为J=diag{J(λ1，r1），J(λ2，r2），…，J(λs，rs）}，其中J(λi，ri）表示主对角线上元素全为λi的ri阶约当块，即

那么r1+r2+…+rs=n，并且每一个λi是A的一个特征值。为了便于书写，把J(λi，ri）简记为Ji。已知A相似于J。根据命题2和命题3，只需证明，矩阵方程JY-YJ=J有非零解当且仅当存在A的两个特征值，其差等于1。事实上，把Y表示成s个块行s个块列的分块矩阵（Yij），其中每一个Yij是一个ri×rj型小矩阵（i，j=1,2，…，s），那么上述矩阵方程就是

由此可见，矩阵方程JY-YJ=J等价于s2个矩阵方程组组成的方程组：JiYij-YijJj=Yij，i，j=1,2，…，s。

现在，假定存在A的两个特征值ri0≤rj0，使得λi0-λj0=1，并假定约当块Ji0的阶数ri0不超过Jj0的阶数rj0，即ri0≤rj0。构造一个分块矩阵Y0如下：其阶数等于n，分法与上述分块矩阵Y的分法一致，其中的小矩阵，除Yi0j0外，其余的全为零矩阵，而Yi0j0=（Iri0，0），这里Iri0是ri0阶单位矩阵，0是ri0×（rj0-ri0）型零矩阵；当ri0=rj0时，Yi0j0就是单位矩阵Iri0。显然，Y0≠0，我们断言Y0是矩阵方程JY-YJ=Y的一个非零解。事实上，根据Y0的构造，当i≠i0或j≠j0时，Y0中的小矩阵Yij是零矩阵。此时等式JiYij-YijJi=Yij当然成立。下面证明等式Ji0Yi0j0-Yi0j0Jj0=Yi0j0也成立。令B1是由Jj0的前ri0行组成的小矩阵，B2是由剩下的行组成的小矩阵，那么由B1的前ri0列组成的小矩阵就是主对角线上元素全为λj的ri0阶约当块，并且剩下的rj0-ri0列元素全为零，所以B1=（J（λj0，ri0），0）。于是，由Yi0j0=（Iri0，0），有

注意到Ji0=J（λi0，ri0）且B1=（J（λj0，ri0），0），因此（Ji0，0）-B1=（J（λi0，ri0），0）-（J（λj0，ri0），0）=（（λi0-λj0）Iri0，0）。再加上λi0-λj0=1且（Iri0，0）=Yi0j0，得到（（λi0-λj0）Iri0，0）=Yi0j0，由此可见，等式Ji0Yi0j0-Yi0j0Jj0=Yi0j0成立。这就证实了上述断言，即Y0是矩阵方程JY-YJ=J的一个非零解。

其次，假定对A的任意两个特征值λi和λj，等式λi-λj=1都不成立（i，j=1,2，…，s）。为了便于书写，把小矩阵Yij中的第k行第l列元素记作ykl（k=1,2，…，ri；l=1,2，…，rj），并把Yij的行数ri和列数rj分别记作p和q，那么矩阵方程JiYij-YijJj=Yij可以改写成

上式等号左边等于

考察等号两边第1行元素，不难看出，下列q个等式都成立：（λi-λj)y11-y11=y11,…，（λi-λj)y1,q-1-y1q=y1,q-1, （λi-λj)y1,q=y1,q。因为λi-λj≠1，由最后一个等式，有y1,q=0，从而由倒数第二个等式，得y1,q-1=0。如此依次往前推，Yij的第1行元素全为零，这样一来，又可以推出Yij的第2行元素全为零。重复这种方法，最终可以推出，小矩阵Yij是零矩阵。这就证明了，矩阵方程JiYij-YijJj=Yij只有零解（i，j=1,2，…，s），因此矩阵方程JY-YJ=Y也只有零解。

综上所述，矩阵方程JY-YJ=Y有非零解当且仅当存在A的两个特征值，其差等于1。

例3设A是复数域上的一个3阶方阵。如果A可对角化，那么DA的不动点空间的维数只能为0,1或2；如果A不可对角化，那么DA的不动点空间的维数只能为0或1。

事实上由于A是复数域上的3阶方阵，它的特征值多项式的3个根都是特征值。这3个特征值中，有可能任意一对的差都不等于1，也有可能只有一对或者两对的差等于1。由于ψ（3）=2，根据推论1，不可能有超过两对的差等于1。根据命题4，如果A可对角化，那么DA的不动点空间的维数只能为0,1，或2。其次，如果A不可对角化，那么它的特征多项式的3个根不可能都是单根，所以A

由此可见y11=y23=y22=y33=y32=0，并且（λ-μ）y12-y13=y12，（λ-μ）y13=y13，（μ-λ）y21=y21，y21+（μ-λ）y31=y31。

现在，如果λ-μ=1，容易看出y13=y21=y31=0，所以只有y12是自由未知量，因此矩阵方程JY-YJ=Y的解为kE12,k∈C。如果μ-λ=1，同样的方法可以求出，这个矩阵方程的解为kE31,k∈C。这就证明了，矩阵方程JY-YJ=Y的解空间的维数等于1。根据命题2和命题3，DA的不动点空间的维数也等于1。

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数［M］.4版.北京：高等教育出版社，1999.

[2]黄益生，黄真珠.幂零矩阵的一个等价条件[J].三明学院学报，2012,29（4）：1-5.

Fixed Points of a Class of Linear Transformations on Space Mn（F）of Matrices

HUANG Yi-sheng,LUO Fei-lai
(School of Information Engineering,Sanming College,Sanming 365004 China)

In this paper,we discuss the fixed points of the linear transformation DA∶Mn（F）→Mn（F），X→AX-XA determined by a square matrices A with order n over a number field F.The main results are ai follews:(1)the set consisting of the whole fixed points of DAis a subspace of the Mn（F）of matrices,and every matrix in such a subspace is nilpotent;(2)if A is a diagonalizable matrix,the dimension if the subspace consisting of the fixed points of DAis not more than ψ（n）where n≥2,and ψ（n）=1/4（n2-1）if n is odd,and ψ（n）=1/4n2if n is even;(3)if m=p1q1+p2q2+…+psqsand p1+q1+p2+q2+…+ps+ qs≤n,there is a square matrix A with order n,such that the dimension of the subspace consisting of the fixed points of DAis equal to m,where p1,q1,p2,q2,…,ps,qsare positice integers;(4)if DAis a linear transformation on the space Mn（C）of matrices, DAhas nonzero fixed points if and only if there are two eigenvalues of A,whose difference is equal to 1,where n≥2,and C denotes the field of complex numbers.

linear transformation;fixed point;matrix equation;nilpotent matrix

O241.6

A

1673-4343（2013）06-0017-09

2013-08-20

福建省教育厅高等学校教学质量工程资助项目（ZL0902/TZ(SJ)）

黄益生，男，福建龙岩人，教授。研究方向：代数。