数学建模案例在高等数学教学中的应用

张云霞 肖莉娜

摘 要：本文介绍了数学建模与高等数学结合的重要性，并通过几个数学建模案例说明如何在高等数学课程中应用数学建模思想。

关键词：高等院校；高等数学；数学建模案例

高等数学是高等院校理工科和经管类学生必修的一门数学基础课程，直接关系到学生后续数学课程和专业课程的学习。然而，现在的教学模式过分强调数学知识的理论性和技巧性，忽略了数学的应用性。而数学建模在提高学生学习数学的兴趣，提高学生主动获取知识的能力，培养学生应用知识解决实际问题的能力等方面体现了重要的作用。因此，将数学建模的思想融入日常的高等数学的课程教学中是当今高等数学课程教学改革的主要趋势。

1 在高等数学教学过程中融入数学建模思想的必要性

传统的数学课程体系偏重理论、注重推理，淡化知识的实际背景，使教学与实际割裂开来，导致学生即使学了很多的公式、定理，也不能用其解决实际问题。而数学建模就为我们提供了这一平台，使学生在熟练掌握数学基本知识的同时，增强了分析、解决实际问题的能力。

1.1 调动学生积极性、激发学生的学习热情

在高等数学的教学中融入数学建模思想，可以加深学生对数学概念的理解、定理的运用，认清数学知识的来龙去脉，发现数学的应用价值，比之枯燥的理论讲解更能激发学生学习的热情。

1.2 培养学生的创新能力

在高等数学的教学中，通过融入数学建模的思想和方法，从问题出发，建立数学模型进行解决。在数学建模活动中，学生要经历分析问题、搜集资料、调查研究、建立模型、求解、完成论文的过程，整个建模过程给了学生充分的思考空间，发挥自身的创造性思维，同时提高学生把数学应用于实际问题的能力。

1.3 培养学生的综合素质

在高等数学的教学中融入数学建模的思想，能培养学生抽象分析能力、数学应用能力、计算机应用能力、资料检索能力以及通过实践加以验证的能力，同时培养学生的创造力、想象力和洞察力，培养学生组织、管理、协调、合作能力，提高学生的语言交流、文字表达和论文写作能力等，使学生的综合素质能够全面提高。

2 在高等数学教学内容中融入数学建模案例的两个实例

数学建模思想融入高等数学教学中的一个直接有效的方法是在教学过程中引入与教学内容相关的简单数学模型案例。数学模型案例来自实际生活的不同领域。通过解决这些具体事例，不但能让学生掌握数学概念及原理，而且极大地提高了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强学生学习数学的兴趣和信心。

例如，在讲授极限思想时，可以讲授宋代数学家刘徽的割圆术，让学生体会极限的思想；在讲授导数概念的时候，可以结合学生的专业讲授与学生专业相关的案例，让学生从案例中体会数学概念的由来，并看到数学在本专业中的应用。下面我们具体看几个案例：

案例一：零点存在定理与椅子放平问题

在讲授闭区间上连续函数的零点定理时，我们可以结合日常生活中的问题：“椅子能在不平的地面上放稳吗？”通过这个案例的讲解，可以激发学生的学习兴趣，同时学生也能深刻的体会到数学知识的应用。

经过一些合理假设后建立模型：首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为，B、D两脚与地面距离之和为，显然、，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知、至少有一个为0。当时，不妨设，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：

命题：已知、是的连续函数，对任意，*=0，且，则存在，使。

证明：将椅子旋转90°，对角线AC和BD互换，由可知。令，则，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在使，，由，所以。

案例二：微分方程与“男生追女生”数学模型

在讲授微分方程的时候可以结合“男生追女生”的数学模型，学生对这个问题会产生极大的兴趣，可以切身体会到数学在实际生活中的应用，同时鼓励学生自己建立一个“女生追男生”的数学模型。

首先对模型进行一些必要的假设：

（1）t时刻A君的学业成绩为Y（t）；t时刻B女对A君的疏远度为X（t）；

（2）当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长（平时发现的A君的不良行为）符合Malthus模型，即，其中a为正常数。

（3）当Y（t）存在时，单位时间内减少X（t）的值与X（t）的值成正比，比例常数为b，从而

（4）A君发起对B女追求后，立即转化为B女对A君的好感，并设定转化系数为α，而随着的A君发起对B女的追求，A君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e。于是有

由假设3和假设4，就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型：； 其中（1）

系统（1）的两个平衡位置为：。从（1）的两方程中消去dt，分离变量可求得首次积分： （2）

容易求出函数有唯一驻点为，是F的极小值点。

同时易见，当（B女对A君恨之入骨）或（A君是一块只会学习的木头）时均有；而（A君作了变形手术，B女对他毫无防备）或（A君不学无术，丝毫不学习）时也有。

从生态意义上看这是容易理解的，当A君的学习成绩下降时，B女会疏远 A君，疏远度上升；于是A君就又开始奋发图强，学习成绩又上升了。于是B女就又和A君开始了来往，疏远度又下降了。与B女交往多了，当然分散了学习时间，A君的学习成绩下降了。考试期间，由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即h减小，与平时相比，将有利于学业成绩Y的增长。 这就是Volterra原理。 此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果，反而不利与学业的成长；有时通过慢慢接触，慢慢了解，再加上适当的追求行动，女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低！

参考文献

[1]严可颂. 数学建模案例在高等数学教学中的应用. 柳州师专学报，2012.27（3）

[2]关鹏，马松林.数学建模在高等数学教学中的应用实例.巢湖学院学报，2011.13（6）

[3]程承运. 数学建模与高等数学教学改革.中国电力教育，1997

[4]崔海英，侯文宇，李林杉. 把数学建模融入高等数学教学中的两个案例[J].北京联合大学学报：自然科学版，2010，24（1）：82-84，93.