矩阵特征值与特征向量的又一种求法

魏裕博

(陕西学前师范学院数学系， 陕西西安 710100)

大多数代数教材中，对于求一个n阶矩阵A的特征值与特征向量，所讲授的方法是通过求解矩阵A的特征方程|λE-A|=0与相应的齐次线性方程组(λiE-A)X=0来实现的。这里给出了利用矩阵多项式和种子向量来求解的另一种方法。

命题1A是一个n阶矩阵，u∈Rn且u≠0，设k是使u,Au,A2u,…Aku线性相关的最小正整数，则存在k次实系数多项式f(x)，若λ0是其一个根，那么f(x)=(x-λ0)q(x)，这时q(A)u就是矩阵A的属于特征值λ0的特征向量。(u称为种子向量，Au,A2u,…Aku称为由u生成的向量)。

证明：∵k是使u,Au,A2u,…Aku线性相关的最小正整数，

∴ 存在不全为零的数a0,a1, … ,ak∈R, 使a0u+a1Au+…+akAku=0.

(1)

令f(x)=a0+a1x+…+akxk(由k的最小性，ak≠0) ，

(2)

若λ0是f(x)的一个根，则存在k-1次多项式q(x), 满足f(x)=(x-λ0)q(x)

将矩阵A代入上式，且由(1)式可得

f(A)u=(A-λ0E)q(A)u=0，

即

A(q(A)u)=λ0(q(A)u

由k的最小性，q(A)u≠0，因此q(A)u是A的属于特征值λ0的一个特征向量。

令f(x)=x-2，则2是其一个根。则f(A)u=(A-2E)u=0，

由例1看到，取不同的种子向量可能得到矩阵A的不同特征值和特征向量，那么取定第一个种子向量后，如何取第二个、第三个以求得其它的特征值和特征向量呢？

证明： 由题设u,Au,A2u,…Ak-1u,v,Av,…,Al-1v,Alv线性相关，则存在关系式

(1)

由命题(1)知f(A)u=0，故用f(A)左乘(1)式，得

f(A)(b0E+b1A+ …+blAl)v=0

(2)

将A代入，并由(2)式得 (A-λ0'E)f(A)p(A)v=0

命题2 给出了用第二个种子向量求新的特征值和特征向量的方法，需要的话可以取第三个、第四个种子向量，这个过程继续下去，直到求得A的所有特征向量的一个极大线性无关组为止，同时也求得了A的所有不同的特征值。

例2 求例1中其它特征值与特征向量

知u,v,Av,A2v线性相关，且A2v-2Av+v+0u=0，

令g(x)=x2-2x+1，则x=1是其二重根，且g(A)=(A-E)2

而f(A)(A-E)v≠0，即(A-2E)(A-E)v=(2,4,-2)T≠0，

以上例子中，特征值、特征向量均为实值。其实，一个实矩阵可能会出现复的特征值，相应就有复的特征向量。那么一个实矩阵的复特征值与复特征向量有什么特点呢？

命题3 若实矩阵A有复特征值，则它们必然共轭成对出现，且属于共轭的复特征值的复特征向量也相互共轭。

证明：设λ是A的一个复特征值，α是属于λ的特征向量，则有

Aα=λα

故有B3u-B2u+Bu-u=0.

(1)

设f(x)=x3-x2+x-1 ， 则在复数域范围有

f(x)=(x-1)(x2+1)=(x-1)(x-i)(x+i)

即f(x)有一个实根λ1=1和一对共轭复根λ2、3=±i.

将B代入，并由(1)得 (B-E)(B-iE)(B+iE)u=0

由此可得，B的属于λ1=1的一个特征向量

B的属于λ2=i的特征向量为

B的属于λ3=-i的特征向量为

用矩阵的多项式和种子向量，无需计算行列式和求解一系列的齐次线性方程组，就可直接求得矩阵的特征根和特征向量，但必须对矩阵运算及向量线性相关性的判断熟练掌握。

[参 考 文 献]

[1] 邱森.线性代数探究性课题精编[M]. 武昌：武汉大学出版社,2011.

[2] 邱森,朱林生.高等代数探究性课题集[M]. 武昌：武汉大学出版社,2008.

[3] 陈怀琛,高淑萍,杨威. 工程线性代数[M]. MATLAB版.北京：电子工业出版社,2011.

[4] 天津大学数学系代数教研组.线性代数及其应用[M].北京：科学出版社2010.

[5] 李林曙，施光燕.线性代数[M].北京：中央广播电视大学出版社,2002.

[6] 西北工业大学应用数学线性代数教学组.线性代数[M] .3版.西安：西北工业大学出版社，2006.