用镜像法求解几类典型静电场问题的教学研究

黄 煌



用镜像法求解几类典型静电场问题的教学研究

黄 煌*1, 2

(1. 湖南师范大学 教育科学学院, 湖南 长沙, 410081; 2. 湖南文理学院 物理与电子科学学院, 湖南 常德, 415000)

研究经典电磁学中的各类静电和静磁问题一般需要在对应边界条件下求解Laplace方程或者Poisson方程, 然而由于直接求解这些方程所用的数学技巧复杂, 学生很难从纷繁的数学公式中提炼出清晰的物理图像. 本文基于唯一性定理介绍了镜像法的基本概念、物理思想和应用对象, 并结合具体的边界条件讨论了如何较为简单地求解几类典型的静电场问题. 研究结果表明, 恰当地运用镜像法可以降低学生解答某些静电学问题的难度, 从而有助于达到较好的教学效果.

像电荷;镜像法; 几何对称性

经典电磁学理论告诉我们, 自然界中的各种静电和静磁现象都可用Laplace方程或者Poisson方程描述[1—2], 那么研究各类静电问题其实上就归结为在对应的边界条件下求解这些空间偏微分方程. 对于一般的任意边界或者电荷分布的情形, 此类问题不存在解析求解方案, 这时只能借助计算机技术获得数值解答. 尽管对于某些简单规则的边界形状, 人们可以通过分离变量、积分变换、Green函数等方法求得问题的解析解, 可是计算过程通常冗长繁杂, 学生在学习时往往会因为缺乏直观的物理图景而感觉困难. 然而, 考虑到空间点电荷激发电场的Coulomb 定律和电势的叠加原理却十分简单, 那么在某些简单边界形状和电荷分布下, 静电场(或电势)也可以通过镜像法求得[3—5].镜像法的核心思想是, 在不改变求解区域电荷分布、介质电磁性质和边界条件的前提下, 用求解区域外部虚设的简单电荷分布(通常称为镜像电荷)来等效地代替导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷, 它们对求解区域电势的贡献使得原电荷和像电荷产生的总叠加电势与原始问题的电势一致, 从而大大简化问题的解答, 这种镜像法的正确性由静电场唯一性定理来保证. 因为镜像法简洁又直观, 学生容易掌握, 所以教学时可达到事半功倍的效果. 尤其是当需要求解电势的空间区域具有球面、柱面或无限大平面等几何对称性边界时, 我们可优先选择运用镜像法.

1 镜象法的理论基础

镜像法的理论基础是静电场的唯一性定理. 其实质是在所研究的场域外的适当地方, 用实际上不存在的 “像电荷” 来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用. 在代替之后, 必须保证在研究区域内原有的场方程和边界条件都不变. 像电荷的大小以及所处的位置则由代替之后全空间中所有电荷分布在边界上激发的电势和边界条件共同决定.

2 镜像法的应用示例和教学分析

用镜像法解题大致可按以下步骤进行: ①正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件(坐标系选择仍然根据边界形状来定); ②根据给定的边界条件计算像电荷的电量和所在位置; ③由已知电荷及像电荷写出势的解析形式; ④根据需要从电势求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等. 下面分别就平面、球面和柱面3类介质分界面的静电场问题阐明镜像法的特点.

图1 无限大接地导体平板一侧置一点电荷

2.1 平面类介质分界面

平面类分界面应该是非均匀介质中最简单的边界了, 即便如此, 如果直接求解Poisson方程来得到电势函数仍旧颇费周折, 此时选用镜像法来计算空间电势则比较简单. 如图１所示,为接地无限大导体平面, 设一点电荷位于右侧距为处, 求点电荷一侧空间的电势. 从物理上分析, 在点电荷的作用下, 导体平面上出现感应电荷分布. 若为正的, 则感应电荷为负的. 空间中的电场是由给定的点电荷以及导体平面的感应电荷共同激发的, 而另一方面感应电荷的分布又是在总电场作用下达到静电平衡的结果. 平衡的条件就是导体是一等势面. 所以导体平面右侧空间中静电势应满足如下定解问题:

怎样才能满足这一问题的边界条件呢？感应电荷对空间电场的作用能否用一个假想电荷来代替？设想在导体平面左侧与电荷镜面对称的位置上放一个假想电荷′, 然后把导体平面移走. 只要′ =-, 在原导体平面上, 假想电荷′与给定电荷激发的总电场线处处与它垂直, 因而边界条件得到满足. 由此可见, 导体平面上的感应电荷确实可用导体左侧的一个假想电荷′代替, 所以导体平面右侧空间电势为:

虽然镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边界的情况, 但也可用于绝缘介质分界面的静电场问题. 如图2所示, 设介电常数分别为1和2的两种均匀介质以无限大平面为界, 在介质1中有一点电荷, 求空间电势分布.

首先考虑介质1中的电势1, 设想将左半空间介质换成与右半空间的一样, 并在=-处有的像电荷′来代替分界面上极化电荷对右半空间场的影响. 则在＞0的区域, 空间一点的电势为:

也可用电势表示为:

将式(3)、(4)代入式(6)并联立解得:

至此,之像′或者″的电量及位置均已确定. 值得注意的是, 在此例中像电荷不一定非得同原电荷异号: 比如, ①当1>2时,′与0电性相同; ②当1<2时,′与0电性相反.

图2 两半无限大均匀介质中置一点电荷

图3 两个无限大接地导体平板中间置一点电荷