一道数学题的命题过程与反思

林光传

摘 要：研究高考题，我们通常会分析它的命题意图，然后寻找课本中的原题。希望从课本例题的变式，探究，推广认识课本例习题应该如何有效的教学。本文试图完整展现一道平面向量考题的命制背景和意图、解析建议和反思。

关键词：数学命题；有效教学；反思

一、命题背景和意图

本题是苍南县2010届高三第一次模拟考试理科数学选择题中考查平面向量的问题。为此，我参考了2009年各省市关于平面向量的高考试题。在2009年浙江省理科数学高考卷中，与平面向量有直接关系的题目有两个。

（7）设向量a，b满足︱a︱=3，︱b︱=4， =0.以a，b，a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（18）（本题满分14分）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=，.=3.

（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值。

可见“平面向量”由于具有“数”与“形”的二重性，故而高考考查空间更具广阔性，并且常常与其他知识点进行交汇考查. 平面向量的考查热点在两个方面：一是向量基本概念、基本运算；二是向量的工具性，即运用向量知识解决平面几何、解析几何、三角函数等的简单问题.一般来说，选择、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律，解答题重在考查平面向量的综合应用，并且常与平面解析几何、三角函数、立体几何、数列等结合起来考查.因此，对平面向量的复习应立足基础，强化运算，重视应用；同时，强化数形结合思想.

因为要命制选择题，我又参考了近4年浙江省高考选择填空题中考查平面向量的问题及其命题意图和解析。

1. （2006浙江13）设向量a，b，c满足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若

|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是_________.

2.（2007浙江7）若非零向量a，b满足，则（ C ）

A. B.

C. D.

3.（2008浙江9）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ C ）

（A）1 （B）2 （C） （D）

4.（2009浙江卷文）已知向量，.若向量c满足，，则 c=（ ）

A. B. C. D.

由这几个考题可见向量的模能够很好的考查向量的数量积、几何意义和坐标运算。能引导学生从“数、量和运算”发展的角度理解“向量”。联系课本必修4教材的例题和习题中发现，也有很多问题与这些考题相关，如2.3.4平面向量共线的坐标表示，例8，习题2.3 B组第4题，习题2.4A组第3题，B组第2题，复习参考题A组第5、13题，B组第2题，等等。

为此，我希望命制一个基础选择题，能够连结课本例习题和高考题，同时可以一题多解。试图由一个问题就能辐射复习平面向量的基本运算和几何意义，提高复习的有效性，也能体现教学和复习回归课本的重要性。命制的问题如下：

7.已知平面向量与的夹角，且，若，则 的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

二、考题解析建议

一个问题的分析应当能够结合高考要求和教材要求，渗透本知识点对学生发展的基础要求，同时培养学生基本的解题方法和能力技巧。

分析一、

结合余弦函数的单调性，，，故 。

利用是求向量的模的基本方法之一，结合三角函数使本题更具张力。

分析二、可知，A、B、P三点共线，且点P是线段AB靠近点B的三等分点。简图如右，由余弦定理并结合选择题的特性，可得。

分析三、如右简图建立平面直角坐标系，可知点A（3，0），点B在圆弧上运动。

方案一、设点B（x，y），由得点P（），所以，故

方案二、设点B（），

由得点P（），所以，故

分析二和分析三，运用了平面向量的几何意义，体现了数形结合思想和运用坐标运算处理平面向量问题，使得向量的研究更加深入。

拓展思考1、若改为，的取值范围？点P的轨迹方程？

拓展思考2、若，的取值范围？点P在哪些位置取得最值，为什么？

三、命题反思

问题对数学的重要性不言而喻，哈尔莫斯说问题是数学的心脏，华罗庚也曾说过：“对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也是枉然。入宝山而空手回，原因在此”。波利亚还出版专著《怎样解题》试图揭示解数学题的一般规律。有鉴于此，命制的数学题应当体现某一方面的基本要求，并且努力让学生了解问题的本质，以后碰上机会不至于空手而回。所以我认为一个好的数学题至少有两个功能，即考查功能和教学功能。考查功能主要明确考什么，教什么和学什么。教学功能主要明确怎么考，怎么教和怎么学。

（一）对命题过程的反思。首先，明确命题意图。充分学习《考试说明》和《学科教学指导意见》的内容和要求，结合教材要求和课本例习题，并研究相应的高考题，明确高考备考的方向。向量是数学中的重要概念，它作为一种基本的数学工具，在三角、解析几何、立体几何、复数以及物理学中的力、速度、加速度、位移等相关内容中有着广泛的应用。复习中要把知识点、训练目标有机结合起来，重点掌握有关概念、性质、运算公式、法则等，正确掌握这些基本知识是学好本章的关键，而且要将它与其它知识，如曲线、数列、函数、三角等知识综合运用，以体现向量的工具性。其次，适当控制难度，不人为拔高。平面向量在高考选择题中毕竟是一个中等偏于容易的问题，所以能体现基础要求就可以了。人为的设置障碍，说明在命题时受单纯知识观的主导，只考核学生知识掌握的准确度，却忽视了命题的能力立意。第三，不避陈题。近4年浙江省平面向量都与向量的模有关。新课程下，课堂教学改革的方向在“新”与“活”上强调太多，体现在命题上，以新题、活题为标准，其实很多好的陈题有同样甚至能更好地为教学诊断提供科学的依据。第四、尽量一题多解。在分析问题时能充分联系，以点带面的复习，能变式教学，由浅入深，浅入深出。第五，命题后的反思。命制一个好题，需要多做题、多看题和多研究题，尤其是课本的例习题和近年的高考题，许多高考题可以在教材中找到原题，即由课本中的例题、习题引申，变化而来的。这些题目考查的都是现行高中教材中最基本且最重要的数学知识，所用到的方法也是通性通法，淡化了特殊技巧。既体现了高考的公平公正，也对中学数学教学和复习回归教材，重视基础起到了良好的导向作用。

（二）对课本例习题、命题和高考题关系的反思。我用下图表表示三者的关系。命题是连接课本例习题和高考题的桥梁，当然这里的命题可以是我们自己原创，也可以是别人的题目的选择和改编。

（三）命题促进课本例习题有效教学的反思。知识点往往是孤立地分阶段进行教学的，所以课本的例习题也往往是针对所学知识点而设计的，很少出现像高考题那样纵横联系的综合题。这就导致例习题与高考题之间的跨度太大，所以有人说就算你把课本的题目都弄懂了在高考中也不能得高分。目前在教学中，我们大多是选择别人的题目，自己改编的很少，原创的题目就更少了。这样做虽然能使视野更加开阔，但是却未必最适合自己学生的实际情况，也就未必是最有效的，同时减缓了教师自身的发展。新课程明确指出，数学教学应培养学生“不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题”。对我们何尝不是这样的要求。

参考文献：

[1]教育部.普通高中课程标准试验教科书.人民教育出版社，2007.

[2]俞美丹. 由一道高考题看新课程下课本例题的有效教学.

[3]李芳.平面向量复习导引.

[4]王建明. 数学课程改革中的向量背景分析.

[5]曹时武. 命题后的反思.