一元二次方程中的重要结论在中考中的应用

余旭红

数学解题能力的提高，需要借助丰富的解题经验.适当记住一些简洁的结论，可以快速抓住问题的本质，简化思维过程，提高解题效率.

在学习一元二次方程的过程中，我们可以得到下面的结论：

分析：若将b4-2b2-1=0变形为（-b2）2+2×（-b2）-1=0，这样两个方程就有相同的结构，以便利用结论二求解.

解：将b4-2b2-1=0变形为（-b2）2+2×（-b2）-1=0.

由a2+2a-1=0，（-b2）2+2×（-b2）-1=0，

当a≠-b2时，a、-b2可视为一元二次方程x2+2x-1=0的两根.

说明：本题也可先将已知两式左右两边分别相减，得（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，整理得（a-b2+2）（a+b2）=0.所以a-b2+2=0或a+ b2=0.当a-b2+2=0时，b2=a+2，此时1-ab2= 1-a（a+2）=1-a2-2a=-（a2+2a-1）=0，与已知条件“1-ab2≠0”相矛盾，所以a-b2+2≠0.当a+ b2=0，即a=-b2时，解法同上.

例3 （2012年四川内江）如果方程x2+ px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p x1x2=q.请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0 （n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；

分析：本题若按常规方法，需要先求出一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，然后再将两实数根代入（α-3）（β-3）求值，运算量大且易出错.而直接运用结论四，则非常简捷.

解：由结论四得x2-4x-3=（x-α）（x-β）.

令x=3，得32-4×3-3=（3-α）（3-β），

即-6=（α-3）（β-3）.

所以（α-3）（β-3）=-6.