数学归纳法

已知函数f（x）=ln（2-x）+ax在区间（0，1）上是增函数.

（1）求实数a的取值范围；

（2）若数列{an}满足a1∈（0，1），an+1=ln（2-an）+an，n∈N？鄢，证明0

破解思路 （1）先把函数f（x）在区间（0，1）上递增转化为f ′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，然后运用分离常数法求出实数a的取值范围.

（2）先用数学归纳法证明0

完美解答 （1）因为函数f（x）=ln（2-x）+ax在区间（0，1）上是增函数，所以f ′（x）= +a≥0在区间（0，1）上恒成立，所以a≥ . 又g（x）=在区间（0，1）上是增函数，所以a≥g（1）=1，即实数a的取值范围为a≥1.

（2）先用数学归纳法证明0

当n=1时，a1∈（0，1）成立；

假设n=k时，0

当n=k+1时，由（1）知a=1时，函数f（x）=ln（2-x）+x在区间（0，1）上是增函数，

所以ak+1=f（ak）=ln（2-ak）+ak，所以0

即0

再证anln1=0.

所以an