证明函数单调性的三种变形策略

刘永红

〔关键词〕 数学教学；函数；单调性；证明；策略

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2013）05—0083—01

函数是中学数学的重点内容，函数的单调性是函数的重要性质，是解决数学问题的重要工具.用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性是高中数学的基本方法，也是高考常考的基本技能.其步骤为：

1.任意取值：设x1，x2为区间D内任意两个值，且x1

2.作差变形：作差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方分析、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；

3.判断定号：确定f（x1）-f（x2）的符号.当符号不确定时，可以考虑分类讨论；

4.得出结论：根据函数单调性的定义得出结论， 若f（x1）-f（x2）<0，则f（x2）为增函数；若f（x1）-f（x2）>0，则f（x2）为减函数.

即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”.

其中变形是为了有利于判断差值符号，是证明的难点.本文结合学生在变形时的困难，探讨利用定义证明函数单调性的三种变形策略.

策略一：因式分解

因式分解是最常用的变形策略.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式，并对各因式符号的判断，来确定f（x1）-f（x2）的符号，进而得出结论.

当然，对于有些结构复杂的函数，还需要结合通分、因式分解、配方分析、分子（分母）有理化等多种策略进行变形.