加强问题解决教学 发展应用创新意识

马赞

胡赵云，浙江省衢州市实验学校副校长，浙江省特级教师，兼职浙江省基础教育课程改革专业指导委员会初中数学学科组成员，浙江省名师名校长工作室指导教师等。

《中国教师》：《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总目标中将《义务教育数学课程标准（实验稿）》的“解决问题”修订调整为“问题解决”，您是如何理解这一变化的？

胡赵云：“问题解决”与“解决问题”，都是四个字，只是“问题”与“解决”前后顺序不同，意味着两者的意义与价值不同，可以从以下方面理解：

首先，这两者的含义不一样。“解决问题”的立足点是解决，往往是给出了问题，如何分析与解决这个已给定的问题，而“问题解决”要关注有没有问题，如何发现问题，提出问题或表述问题，然后，想办法分析问题，解决问题。“解决问题”主要指运用数学知识分析和解决问题这两个方面，而“问题解决”包括从数学角度发现、提出、分析和解决问题这四个方面。

其次，这两者产生的背景不一样。“解决问题”在我国的教学大纲中早就存在。我记得1986年工作时，读过《全日制中学数学教学大纲》，其中就有“逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力”。其背景是我们国家百废待兴，急需用所学的知识解决工农业生产中存在的大量问题。而今天，随着信息技术时代的到来，创新已成为民族发展的灵魂，没有问题，不能发现问题，不能提出问题就没有创新，在这样的背景下，只会解决问题已经不够了。

再次，这两者的内容设置、教学展开方式也有区别。以问题解决的视角审视课程内容的设置与展开方式时，就会选择现实的、生活的、数学的素材，让学生从数学角度观察、思考、分析、交流、发现相互之间的联系、矛盾与存在的数学问题。用数学的方式表达出问题，然后研究分析解决问题的办法，这与我国传统的先讲数学知识，再例题示范，后练习巩固的呈现形式有着根本的区别。

《中国教师》：“问题解决”与“解决问题”中都有“问题”，这个“问题”与传统的应用题有什么不一样？

胡赵云：“问题”与传统的应用题，这两者有区别，它们不是一回事。传统的应用题大多有明显的人为编造痕迹，如情境作了简化，数据作了优化；往往有一定的题型，如行程类、总分类、工程类、浓度类等；解决应用题的主要方式是找类型，套公式；答案总是确定的，往往这个应用题解完就是终点了，无须反思。而“问题”往往是现实的、生活的、数学的、开放的，很难用套题型的方式解决它；发现和提出问题、分析和解决问题往往需要依靠高于数学知识层面的能力、观点、思想、意识；解决问题的策略与结果未必唯一确定；此问题解决后交流与反思空间大，往往是彼问题的开始。可以这样说，传统应用题仅仅是运用数学知识解决人为编造的、有明确结果的“问题”，而“问题解决”中的“问题”，不仅锻炼学生运用数学知识的能力，还锻炼学生运用数学观点、意识、思想解决问题的能力，对于学生的应用意识、创新意识的发展很有价值。

《中国教师》：“问题解决”与课程目标“四基”的“基本思想”“基本活动经验”及“核心概念”之间有着什么样的联系？

胡赵云：2011年课程标准中，明确指出问题解决有以下四个方面：

●初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

●获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

●学会与他人合作交流。

●初步形成评价与反思的意识。

从上述表述可以看出，具有良好的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验是实现问题解决目标的基础，重视加强问题解决能有效地增强应用意识，发展创新意识。特别要提出，问题解决经验的积累往往要通过学生参与的、有效的教学活动才能实现。而一个人能够发现、提出新问题正是创新型人才的基本要求。以基础知识、基本技能的教学为载体，培养学生良好的数感、符号意识、空间观念、几何直观等，可以帮助学生从表面上看来没有关系的一些现象中找到数量或空间方面的某些联系或某些矛盾，并将这些联系或矛盾提炼出来，用数学语言、数学符号以问题的形态表述出来，即提出问题。同样，以基础知识、基本技能的教学为载体，培养学生良好的推理能力、模型思想、运算能力与思维能力等，可以帮助学生有效地分析问题、寻求解决问题的策略与方法。正如2011年版课程标准所指出的知识技能、数学思考、问题解决、情感态度，“这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义”。

《中国教师》：既然问题解决能力对于发展学生的应用意识与创新意识很有价值，那么在具体教学中怎样做才能实现问题解决的目标？请您给一线教师提出一些具体的建议。

胡赵云：首先，教科书的编写要为问题解决提供好的素材与呈现方式。“教材应选用合适的学习素材，介绍知识的背景；设计必要的数学活动，让学生通过观摩、实验、猜测、推理、交流、反思等，感悟知识形成和应用”。这样的方式对“提高解决问题的能力有着重要的作用”。比如，北师大版的初中数学教科书“力图采用‘问题情境—建立模型—解释，应用和拓展的模式展开，对于新知识的学习都以对相关问题情境的研究作为开始”，这就是一个很好的形式。

其次，教师要提升执教问题解决的能力。我们的教师习惯于对给定的问题进行分析，予以解决，而对于怎样选择合适的情境，怎样呈现教学内容，怎样开展组织教学才能利于学生发现问题、提出问题的教学模式相对陌生。教师要加强这些方面的学习、交流与研讨。发挥集体备课的作用是一个不错的选择。

再次，在平时课堂教学中，要关注以下几方面。

第一，要积极引导学生参与教学过程，不要以简单地、重复地多题讲练代替教学。在平时课堂教学中不乏以讲题、做题，依靠大量练习为特征的、简单的、应试性的教学形式。这种形式自然不利于培养学生问题解决的能力，并且，从应试成绩的角度来看，也未必是好的方法。

第二，要重视积累现实生活的经验，不要简单地以题型套公式的方式代替现实问题的教学。我国各版本的教材都不同程度地沿用了传统的应用题，如果教师能够采用好的教学方法使用这些应用题的话，在一定程度上，可以培养学生运用数学知识分析、解决问题的能力。这就要求教师在应用题教学中摒弃简单的归类题型、套用公式的教学方式。对于任何形式的应用题，教师都要善于让学生积累现实的生活经验，理解其中蕴含的数量关系，能运用多种方式解决问题、反思问题解决的过程。如教学课例“打折促销”[具体见《基础教育课程》（2012.11）中《学法指引是学案设计永恒的追求》]，就是一个很好的典范。

第三，要重视落实问题解决方法（策略）的多样性。在课程标准实验稿中明确要求“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性”，而2011年版课程标准中也同样明确要求“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性”，这说明分析解决问题方法的多样性在课程标准修订过程中完整地延续着。但是在实际教学中，广大教师对此缺乏必要的认识。例如，2011年浙江省衢州市初中数学毕业考试卷第21题，是一来自课本的略作改编的例题。

某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系。每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元。要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？

小明的解法如下。

解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为（3-0.5x）元。

由题意，得（x+3）（3-0.5x）=10，

化简，整理，得x2-3x+2=0，

解这个方程，得x1=1，x2=2。

答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。

（1）本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：

（2）请用一种与小明不相同的方法求解上述问题。

结果得分率为43.13%。事实上，该题可用算术、列表、图像及函数等方法解决。这就需要广大教师通过钻研教科书、数学教学理论书籍来丰富自己的学科专业知识，培养学生从多个角度去分析问题和解决问题的能力。

第四，要让课堂教学、数学知识的形成体现问题解决教学的全过程。2011年版课程标准对于课程内容的组织明确了三个关系：“要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。”这表明在数学知识形成的课堂教学中要关注过程、直观、直接经验的积累，这为在课堂教学中体现问题解决教学的全过程提供了依据。比如“勾股定理”的教学就是一个让学生经历问题解决的好素材。2011年版课程标准明确要求“探索勾股定理”，如何探索，各种版本教材对此处理各有不同，总感觉是很勉强地探索，师生总存在几个困扰，如：研究直角三角形的边与边之间的关系怎么就想到要研究边的平方，怎么教师会那么聪明就想到用网格帮助探索，等等。通常在学完等腰三角形、全等三角形后才学习直角三角形。教师不妨按照下列方式组织勾股定理的教学。

（1）发现问题

我们知道一个三角形的两边及夹角确定，这个三角形就确定了，那么一个直角三角形的两直角边确定就表明这个直角三角形已确定，也就是斜边的长确定了。这能说明什么呢？

这表明一个直角三角形的斜边长能由两直角边的长确定。说明斜边与两直角之间有关系，到底有什么样的关系呢？我们怎样才能发现它们的关系呢？

（2）提出问题

问题：Rt△ABC中，∠C=90°，问边a，b，c之间有何关系？

（3）引导探索

可以让学生做一些尝试与否定的事。过去积累的经验能帮我们研究这个问题吗？没有经验可以借鉴，我们怎么办？可以举个具体、特殊、简单的例子。

第一，从简单的、特殊的入手。

问题1，已知Rt△ABC，∠C=90°。①若a=b=1，你能表示出含c的等式吗？

问题1②若a=b=2，能表示出含c的等式吗？

问题1③若a=1，b=2呢？

第二，引导分析。

问题1①②的条件有什么共同点？问题1①③的条件与①②有什么区别？

问题1①②的结果有什么共同点？c2=2，c2=8能让我们想起什么？（可想起正方形面积）

对于问题1①，如何验证以c为边长的正方形的面积是否为2？（用拼图或用网格帮助）

补问：你能用上述方法验证问题1②的结论吗？

加问：你有哪些方法知道正方形的面积为8？

追问：你能用上述方法帮助解决问题1③吗？（c2=5）

补问：你有哪些方法知道正方形的面积为5？（学生可以发现下列方法，见图1、图2）

问题1④若a=2，b=3。你能求c吗？（c2=13）

补问：你有哪些方法知道正方形的面积为13？

第三，提炼观察。

问题2，梳理上述四个问题的边长，并思考a，b，c之间有什么联系？（联系：a2+b2=c2）

第四，验证结论。

问题3①在网格中能验证吗？对于上述问题，用网格，画一画 a2，b2（见图3）。

问题3②在Rt△ABC中，∠C=90°。a=3，b=4，问c=？（方法1，用a2+b2=c2可求得c=5；方法2，用刻度尺量；方法3，用网格验证。）

第五，结论一般化。

网格有局限性，对于非整数边长的怎么办？

问题4，对于Rt△ABC，∠C=90°，你能说明 a2+b2=c2正确吗？

第五，要在综合与实践活动中，发展学生问题解决的能力。正如弗兰登塔尔指出，“应用是不能从教应用中学会的，数学在自然界和社会中的一些应用不能只由教科书的作者或教师示范说明，而应该留给学生去再发现”。综合与实践活动正是学生去再发现的好去处。学期教学计划中要安排好作业或利用假期的时间，让学生以小组合作方式完成一些或专题性，或现实性，或生活性，或数学的课题学习是极为有意义的，如关注人口老龄化，学生最喜爱的电视节目（或运动），制作一个尽可能大的无盖长方体盒子，探寻神奇的幻方，制作视力表，池塘里有多少条鱼，设计遮阳篷，等等。在各种各样的综合与实践活动中，学生必然要面临现实的、生活的、数学的情境，经历观察、猜想、类比、发现问题的阶段，通过思考、归纳、交流、提出问题，以调查、演算、制图、推理、建模等方式分析解决问题，再交流反思，从而在现实中学会应用，在学会应用中发展创新意识。

（责任编辑：林静）